Возрастающая геометрическая прогрессия формулы. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например:

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое - второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать. Это и есть пример числовой последовательности:

Числовая последовательность - это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и -ное число) всегда одно.

Число с номером называетмя -ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например,), и каждый член этой последовательности - той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: .

В нашем случае:

Самые распространенные виды прогрессии это арифметическая и геометрическая. В этой теме мы поговорим о втором виде - геометрической прогрессии .

Для чего нужна геометрическая прогрессия и ее история возникновения.

Еще в древности итальянский математик монах Леонардо из Пизы (более известный под именем Фибоначчи) занимался решением практических нужд торговли. Перед монахом стояла задача определить, с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? В своих трудах Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: Это одна из первых ситуаций, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией, о которой ты уже наверное слышал и имеешь хотя бы общее понятие. Как только полностью разберешься в теме, подумай, почему такая система является оптимальной?

В настоящее время, в жизненной практике, геометрическая прогрессия проявляется при вложении денежных средств в банк, когда сумма процентов начисляется на сумму, скопившуюся на счете за предыдущий период. Иными словами, если положить деньги на срочный вклад в сберегательный банк, то через год вклад увеличится на от исходной суммы, т.е. новая сумма будет равна вкладу, умноженному на. Ещё через год уже эта сумма увеличится на, т.е. получившаяся в тот раз сумма вновь умножится на и так далее. Подобная ситуация описана в задачах на вычисление так называемых сложных процентов - процент берется каждый раз от суммы, которая есть на счете с учетом предыдущих процентов. Об этих задачах мы поговорим чуть позднее.

Есть еще много простых случаев, где применяется геометрическая прогрессия. Например, распространение гриппа: один человек заразил человек, те в свою очередь заразили еще по человека, и таким образом вторая волна заражения - человек, а те в свою очередь, заразили еще … и так далее…

Кстати, финансовая пирамида, та же МММ - это простой и сухой расчет по свойствам геометрической прогрессии. Интересно? Давай разбираться.

Геометрическая прогрессия.

Допустим, у нас есть числовая последовательность:

Ты сразу же ответишь, что это легко и имя такой последовательности - с разностью ее членов. А как на счет такого:

Если ты будешь вычитать из последующего числа предыдущее, то ты увидишь, что каждый раз получается новая разница (и т.д.), но последовательность определенно существует и ее несложно заметить - каждое следующие число в раз больше предыдущего!

Такой вид числовой последовательности называется геометрической прогрессией и обозначается.

Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число . Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Ограничения, что первый член { } не равен и не случайны. Допустим, что их нет, и первый член все же равен, а q равно, хм.. пусть, тогда получается:

Согласись, что это уже никакая не прогрессия.

Как ты понимаешь, те же самые результаты мы получим, если будет каким-либо числом, отличным от нуля, а. В этих случаях прогрессии просто не будет, так как весь числовой ряд будут либо все нули, либо одно число, а все остальные нули.

Теперь поговорим поподробнее о знаменателе геометрической прогрессии, то есть о.

Повторим: - это число, во сколько раз изменяется каждый последующий член геометрической прогрессии.

Как ты думаешь, каким может быть? Правильно, положительным и отрицательным, но не нулем (мы говорили об этом чуть выше).

Допустим, что у нас положительное. Пусть в нашем случае, а. Чему равен второй член и? Ты без труда ответишь, что:

Все верно. Соответственно, если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак - они положительны .

А что если отрицательное? Например, а. Чему равен второй член и?

Это уже совсем другая история

Попробуй посчитать член данной прогрессии. Сколько у тебя получилось? У меня. Таким образом, если, то знаки членов геометрической прогрессии чередуются. То есть, если ты увидишь прогрессию, с чередующимися знаками у ее членов, значит ее знаменатель на отрицательный. Это знание может помочь тебе проверять себя при решении задач на эту тему.

Теперь немного потренируемся: попробуй определить, какие числовые последовательности являются геометрической прогрессией, а какие арифметической:

Разобрался? Сравним наши ответы:

Геометрическая прогрессия - 3, 6.
Арифметическая прогрессия - 2, 4.
Не является ни арифметической, ни геометрической прогрессиями - 1, 5, 7.

Вернемся к нашей последней прогрессии, а и попробуем так же как и в арифметической найти ее член. Как ты уже догадываешься, есть два способа его нахождения.

Последовательно умножаем каждый член на.

Итак, -ой член описанной геометрической прогрессии равен.

Как ты уже догадываешься, сейчас ты сам выведешь формулу, которая поможет найти тебе любой член геометрической прогрессии. Или ты ее уже вывел для себя, расписывая, как поэтапно находить -ой член? Если так, то проверь правильность твоих рассуждений.

Проиллюстрируем это на примере нахождения -го члена данной прогрессии:

Иными словами:

Найди самостоятельно значение члена заданной геометрической прогрессии.

Получилось? Сравним наши ответы:

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно умножали на каждый предыдущий член геометрической прогрессии.
Попробуем «обезличить» данную формулу - приведем ее в общий вид и получим:

Выведенная формула верна для всех значений - как положительных, так и отрицательных. Проверь это самостоятельно, рассчитав и члены геометрической прогрессии со следующими условиями: , а.

Посчитал? Сравним полученные результаты:

Согласись, что находить член прогрессии можно было бы так же как и член, однако, есть вероятность неправильно посчитать. А если мы нашли уже -ый член геометрической прогрессии, а, то что может быть проще, чем воспользоваться «обрезанной» частью формулы.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Совсем недавно мы говорили о том, что может быть как больше, так и меньше нуля, однако, есть особые значения при которых геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей .

Как ты думаешь, почему такое название?
Для начала запишем какую-нибудь геометрическую прогрессию, состоящую из членов.
Допустим, а, тогда:

Мы видим, что каждый последующий член меньше предыдущего в раза, но будет ли какое-либо число? Ты сразу же ответишь - «нет». Вот поэтому и бесконечно убывающая - убывает, убывает, а нулем никогда не становится.

Чтобы четко понять, как это выглядит визуально, давай попробуем нарисовать график нашей прогрессии. Итак, для нашего случая формула приобретает следующий вид:

На графиках нам привычно строить зависимость от, поэтому:

Суть выражения не изменилась: в первой записи у нас была показана зависимость значения члена геометрической прогрессии от его порядкового номера, а во второй записи - мы просто приняли значение члена геометрической прогрессии за, а порядковый номер обозначили не как, а как. Все, что осталось сделать - построить график.
Посмотрим, что у тебя получилось. Вот какой график получился у меня:

Видишь? Функция убывает, стремится к нулю, но никогда его не пересечет, поэтому она бесконечно убывающая. Отметим на графике наши точки, а заодно и то, что обозначает координата и:

Попробуй схематично изобразить график геометрической прогрессии при, если первый ее член также равен. Проанализируй, в чем разница с нашим предыдущим графиком?

Справился? Вот какой график получился у меня:

Теперь, когда ты полностью разобрался в основах темы геометрической прогрессии: знаешь, что это такое, знаешь, как найти ее член, а также знаешь, что такое бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, перейдем к ее основному свойству.

Свойство геометрической прогрессии.

Помнишь свойство членов арифметической прогрессии? Да, да, как найти значение определенного числа прогрессии, когда есть предыдущее и последующее значения членов данной прогрессии. Вспомнил? Вот это:

Теперь перед нами стоит точно такой же вопрос для членов геометрической прогрессии. Чтобы вывести подобную формулу, давай начнем рисовать и рассуждать. Вот увидишь, это очень легко, и если ты забудешь, то сможешь вывести ее самостоятельно.

Возьмем еще одну простую геометрическую прогрессию, в которой нам известны и. Как найти? При арифметической прогрессии это легко и просто, а как здесь? На самом деле в геометрической тоже нет ничего сложного - необходимо просто расписать по формуле каждое данное нам значение.

Ты спросишь, и что теперь нам с этим делать? Да очень просто. Для начала изобразим данные формулы на рисунке, и попытаемся сделать с ними различные манипуляции, чтобы прийти к значению.

Абстрагируемся от чисел, которые у нас даны, сосредоточимся только на их выражении через формулу. Нам необходимо найти значение, выделенное оранжевым цветом, зная соседствующие с ним члены. Попробуем произвести с ними различные действия, в результате которых мы сможем получить.

Сложение.
Попробуем сложить два выражения и, мы получим:

Из данного выражения, как ты видишь, мы никак не сможем выразить, следовательно, будем пробовать другой вариант - вычитание.

Вычитание.

Как ты видишь, из этого мы тоже не можем выразить, следовательно, попробуем умножить данные выражения друг на друга.

Умножение.

А теперь посмотри внимательно, что мы имеем, перемножая данные нам члены геометрической прогрессии в сравнении с тем, что необходимо найти:

Догадался о чем я говорю? Правильно, чтобы найти нам необходимо взять квадратный корень от перемноженных друг на друга соседствующих с искомым чисел геометрической прогрессии:

Ну вот. Ты сам вывел свойство геометрической прогрессии. Попробуй записать эту формулу в общем виде. Получилось?

Забыл условие при? Подумай, почему оно важно, например, попробуй самостоятельно просчитать, при. Что получится в этом случае? Правильно, полная глупость так как формула выглядит так:

Соответственно, не забывай это ограничение.

Теперь посчитаем, чему же равно

Правильный ответ - ! Если ты при расчете не забыл второе возможное значение, то ты большой молодец и сразу можешь переходить к тренировке, а если забыл - прочитай то, что разобрано далее и обрати внимание, почему в ответе необходимо записывать оба корня.

Нарисуем обе наши геометрические прогрессии - одну со значением, а другую со значением и проверим, имеют ли обе из них право на существование:

Для того, чтобы проверить, существует ли такая геометрическая прогрессия или нет, необходимо посмотреть, одинаковое ли между всеми ее заданными членами? Рассчитай q для первого и второго случая.

Видишь, почему мы должны писать два ответа? Потому что знак у искомого члена зависит от того, какой - положительный или отрицательный! А так как мы не знаем, какой он, нам необходимо писать оба ответа и с плюсом, и с минусом.

Теперь, когда ты усвоил основные моменты и вывел формулу на свойство геометрической прогрессии, найди, зная и

Сравни полученные ответы с правильными:

Как ты думаешь, а если нам были бы даны не соседние с искомым числом значения членов геометрической прогрессии, а равноудаленные от него. Например, нам необходимо найти, а даны и. Можем ли мы в этом случае использовать выведенную нами формулу? Попробуй точно так же подтвердить или опровергнуть эту возможность, расписывая из чего состоит каждое значение, как ты делал, выводя изначально формулу, при.
Что у тебя получилось?

Теперь опять посмотри внимательно.
и, соответственно:

Из этого мы можем сделать вывод, что формула работает не только при соседствующих с искомым членах геометрической прогрессии, но и с равноудаленными от искомого членами.

Таким образом, наша первоначальная формула приобретает вид:

То есть, если в первом случае мы говорили, что, то сейчас мы говорим, что может быть равен любому натуральному числу, которое меньше. Главное, чтобы был одинаков для обоих заданных чисел.

Потренируйся на конкретных примерах, только будь предельно внимателен!

, . Найти.
, . Найти.
, . Найти.

Решил? Надеюсь, ты был предельно внимателен и заметил небольшой подвох.

Сравниваем результаты.

В первых двух случаях мы спокойно применяем вышеописанную формулу и получаем следующие значения:

В третьем случае при внимательном рассмотрении порядковых номеров данных нам чисел, мы понимаем, что они не равноудалены от искомого нами числа: является предыдущим числом, а удалена на позиции, таким образом применить формулу не предоставляется возможным.

Как же ее решать? На самом деле это не так сложно, как кажется! Давай с тобой распишем, из чего состоит каждое данное нам и искомое числа.

Итак, у нас есть и. Посмотрим, что с ними можно сделать? Предлагаю разделить на. Получаем:

Подставляем в формулу наши данные:

Следующим шагом мы можем найти - для этого нам необходимо взять кубический корень из полученного числа.

А теперь смотрим еще раз что у нас есть. У нас есть, а найти нам необходимо, а он, в свою очередь равен:

Все необходимые данные для подсчета мы нашли. Подставляем в формулу:

Наш ответ: .

Попробуй решить еще одну такую же задачу самостоятельно:
Дано: ,
Найти:

Сколько у тебя получилось? У меня - .

Как ты видишь, по сути, тебе необходимо запомнить лишь одну формулу - . Все остальные ты без какого-либо труда можешь вывести самостоятельно в любой момент. Для этого просто напиши на листочке самую простую геометрическую прогрессию и распиши, чему согласно вышеописанной формуле равно каждое ее число.

Сумма членов геометрической прогрессии.

Теперь рассмотрим формулы, которые позволяют нам быстро посчитать сумму членов геометрической прогрессии в заданном промежутке:

Чтобы вывести формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии, умножим все части вышестоящего уравнения на. Получим:

Посмотри внимательно: что общего в последних двух формулах? Правильно, общие члены, например и так далее, кроме первого и последнего члена. Давай попробуем вычесть из 2-го уравнения 1-ое. Что у тебя получилось?

Теперь вырази через формулу члена геометрической прогрессии и подставь полученное выражение в нашу последнюю формулу:

Сгруппируй выражение. У тебя должно получиться:

Все, что осталось сделать - выразить:

Соответственно, в этом случае.

А что если? Какая формула работает тогда? Представь себе геометрическую прогрессию при. Что она из себя представляет? Правильно ряд одинаковых чисел, соответственно формула будет выглядеть следующим образом:

Как и по арифметической, так и по геометрической прогрессии существует множество легенд. Одна из них - легенда о Сете, создателе шахмат.

Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски пшеничное зерно, за вторую пшеничных зерна, за третью, за четвертую и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все клетки доски.

А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?

Начнем рассуждать. Так как по условию за первую клетку шахматной доски Сета попросил пшеничное зерно, за вторую, за третью, за четвертую и т.д., то мы видим, что в задаче речь идет о геометрической прогрессии. Чему равно в этом случае?
Правильно.

Всего клеток шахматной доски. Соответственно, . Все данные у нас есть, осталось только подставить в формулу и посчитать.

Чтобы представить хотя бы приблизительно «масштабы» данного числа, преобразуем, используя свойства степени:

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет.
То есть:

квинтильонов квадрильонов триллиона миллиарда миллионов тысяч.

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.
При высоте амбара м и ширине м длина его должна была бы простираться на км, - т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.
Ученик 5 А класса Вася, заболел гриппом, но продолжает ходить в школу. Каждый день Вася заражает двух человек, которые, в свою очередь, заражают еще двух человек и так далее. Всего в классе человек. Через сколько дней гриппом будет болеть весь класс?

Итак, первый член геометрической прогрессии это Вася, то есть человек. -ой член геометрической прогрессии, это те два человека, которых он заразил в первый день своего прихода. Общая сумма членов прогрессии равна количеству учащихся 5А. Соответственно, мы говорим о прогрессии, в которой:

Подставим наши данные в формулу суммы членов геометрической прогрессии:

Весь класс заболеет за дней. Не веришь формулам и числам? Попробуй изобразить «заражение» учеников самостоятельно. Получилось? Смотри, как это выглядит у меня:

Посчитай самостоятельно, за сколько дней ученики заболели бы гриппом, если каждый заражал бы по человека, а в классе училось человек.

Какое значение у тебя получилось? У меня получилось, что все начали болеть спустя дня.

Как ты видишь, подобная задача и рисунок к ней напоминает пирамиду, в которой каждый последующий «приводит» новых людей. Однако, рано или поздно настает такой момент, когда последние не могут никого привлечь. В нашем случае, если представить, что класс изолирован, человек из замыкают цепочку (). Таким образом, если бы человек были вовлечены в финансовую пирамиду, в которой деньги давались в случае, если ты приведешь двух других участников, то человек (или в общем случае) не привели бы никого, соответственно, потеряли бы все, что вложили в эту финансовую аферу.

Все, что было сказано выше, относится к убывающей или возрастающей геометрической прогрессии, но, как ты помнишь, у нас есть особый вид - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Как же считать сумму ее членов? И почему у данного вида прогрессии есть определенные особенности? Давай разбираться вместе.

Итак, для начала посмотрим еще раз на вот этот рисунок бесконечно убывающей геометрической прогрессии из нашего примера:

А теперь посмотрим на формулу суммы геометрической прогрессии, выведенную чуть ранее:
или

К чему у нас стремится? Правильно, на графике видно, что оно стремится к нулю. То есть при, будет почти равно, соответственно, при вычислении выражения мы получим почти. В связи с этим, мы считаем, что при подсчете суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, данной скобкой можно пренебречь, так как она будет равна.

- формула сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.

Если указано конкретное число n, то пользуемся формулой суммы n членов, даже если или.

А теперь потренируемся.

Найди сумму первых членов геометрической прогрессии с и.
Найди сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с и.

Надеюсь, ты был предельно внимателен. Сравним наши ответы:

Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все, и настала пора переходить от теории к практике. Самые распространенные задачи на геометрическую прогрессию, встречающиеся на экзамене - это задачи на вычисление сложных процентов. Именно о них и пойдет речь.

Задачи на вычисление сложных процентов.

Ты наверняка слышал о так называемой формуле сложных процентов. Понимаешь ли ты, что она значит? Если нет, давай разбираться, так как осознав сам процесс, ты сразу поймешь, причем здесь геометрическая прогрессия.

Все мы ходим в банк и знаем, что существуют разные условия по вкладам: это и срок, и дополнительное обслуживание, и процент с двумя различными способами его начисления - простым и сложным.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада. То есть, если мы говорим о том, что мы кладем 100 рублей на год под, то зачислятся только в конце года. Соответственно, к окончанию вклада мы получим рублей.

Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов , т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

Допустим, что мы кладем все те же рублей по годовых, но с ежемесячной капитализацией вклада. Что у нас получается?

Все ли тебе здесь понятно? Если нет, давай разбираться поэтапно.

Мы принесли в банк рублей. К концу месяца у нас на счете должна появиться сумма, состоящая из наших рублей плюс процентов по ним, то есть:

Согласен?

Мы можем вынести за скобку и тогда мы получим:

Согласись, эта формула уже больше похожа на написанную нами в начале. Осталось разобраться с процентами

В условии задачи нам сказано про годовых. Как ты знаешь, мы не умножаем на - мы переводим проценты в десятичные дроби, то есть:

Верно? Сейчас ты спросишь, а откуда взялось число? Очень просто!
Повторюсь: в условии задачи сказано про ГОДОВЫЕ проценты, начисление которых происходит ЕЖЕМЕСЯЧНО . Как ты знаешь, в году месяцев, соответственно, банк будет начислять нам в месяц часть от годовых процентов:

Осознал? А теперь попробуй написать, как будет выглядеть эта часть формулы, если я скажу, что проценты начисляются ежедневно.
Справился? Давай сравним результаты:

Молодец! Вернемся к нашей задаче: напиши, сколько будет начислено на наш счет на второй месяц, с учетом, что проценты начисляются на накопленную сумму вклада.
Вот что получилось у меня:

Или, иными словами:

Я думаю, что ты уже заметил закономерность и увидел во всем этом геометрическую прогрессию. Напиши, чему будет равен ее член, или, иными словами, какую сумму денежных средств мы получим в конце месяца.
Сделал? Проверяем!

Как ты видишь, если ты кладешь деньги в банк на год под простой процент, то ты получишь рублей, а если под сложный - рублей. Выгода небольшая, но так происходит только в течение -го года, а вот на более длительный период капитализация намного выгодней:

Рассмотрим еще один тип задач на сложные проценты. После того, в чем ты разобрался, это будет для тебя элементарно. Итак, задача:

Компания «Звезда» начала инвестировать в отрасль в 2000 году, имея капитал долларов. Каждый год, начиная с 2001 года, она получает прибыль, которая составляет от капитала предыдущего года. Сколько прибыли получит компания «Звезда» по окончанию 2003 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Капитал компании «Звезда» в 2000 году.
- капитал компании «Звезда» в 2001 году.
- капитал компании «Звезда» в 2002 году.
- капитал компании «Звезда» в 2003 году.

Либо мы можем написать кратко:

Для нашего случая:

2000 год, 2001 год, 2002 год и 2003 год.

Соответственно:
рублей
Заметь, в данной задаче у нас нет деления ни на, ни на, так как процент дан ЕЖЕГОДНЫЙ и начисляется он ЕЖЕГОДНО. То есть, читая задачу на сложные проценты, обрати внимание, какой процент дан, и в какой период он начисляется, и только потом приступай к вычислениям.
Теперь ты знаешь о геометрической прогрессии все.

Тренировка.

Найдите член геометрической прогрессии, если известно, что, а
Найдите сумму первых членов геометрической прогрессии, если известно, что, а
Компания «МДМ Капитал» начала инвестировать в отрасль в 2003 году, имея капитал долларов. Каждый год, начиная с 2004 года, она получает прибыль, которая составляет от капитала предыдущего года. Компания «МСК Денежные потоки» стала инвестировать в отрасль в 2005 году в размере 10000 долларов, начиная получать прибыль с 2006 года в размере. На сколько долларов капитал одной компании больше другой по окончанию 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответы:

Так как в условии задачи не сказано, что прогрессия бесконечная и требуется найти сумму конкретного числа ее членов, то расчет идет по формуле:
Компания «МДМ Капитал»:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007 года.
- увеличивается на 100%, то есть в 2 раза.
Соответственно:
рублей
Компания «МСК Денежные потоки»:
2005, 2006, 2007 года.
- увеличивается на, то есть в раза.
Соответственно:
рублей
рублей

Подведем итоги.

1) Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

2) Уравнение членов геометрической прогрессии - .

3) может принимать любые значения, кроме и.

если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак - они положительны ;
если, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
при - прогрессия называется бесконечно убывающей.

4) , при - свойство геометрической прогрессии (соседствующие члены)

либо
, при (равноудаленные члены)

При нахождении не стоит забывать о том, что ответа должно быть два .

Например,

5) Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
или

или

ВАЖНО! Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии мы используем только в том случае, если в условии в явном виде указано, что нужно найти сумму бесконечного числа членов.

6) Задачи на сложные проценты также вычисляются по формуле -го члена геометрической прогрессии, при условии, что денежные средства из оборота не изымались:

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Геометрическая прогрессия { } - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии может принимать любые значения, кроме и.

Если, то все последующие члены прогрессии имеют одинаковый знак - они положительны ;
если, то все последующие члены прогрессии чередуют знаки;
при - прогрессия называется бесконечно убывающей.

Уравнение членов геометрической прогрессии - .

Сумма членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
или

Если прогрессия является бесконечно убывающей, то:

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a n , то говорят, что задано числовую последовательность :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 — вторым членом последовательности , число a 3 — третьим и так далее. Число a n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .

Из двух соседних членов a n и a n +1 последовательности член a n +1 называют последующим (по отношению к a n ), а a n — предыдущим (по отношению к a n +1 ).

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

Например,

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

a n = 2n - 1,

а последовательность чередующихся 1 и -1 — формулой

b n = (-1) n +1 . ◄

Последовательность можно определить рекуррентной формулой , то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

Например,

если a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Если а 1 = 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .

Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.

Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная. ◄

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n , . . . — возрастающая последовательность;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n , . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

a n +1 = a n + d ,

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d .

Число d называют разностью арифметической прогрессии .

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

Например,

если a 1 = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d = 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d = 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d = 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметической прогрессии с первым членом a 1 и разностью d её n

a n = a 1 + (n - 1)d.

Например,

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n - 2)d,

a n = a 1 + (n - 1)d,

a n +1 = a 1 + nd ,

то, очевидно,

a n =	a n-1 + a n+1
	2

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

Например,

a n = 2n - 7 , является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

a n = 2n - 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n - 9,

a n+1 = 2(n + 1) - 7 = 2n - 5.

Следовательно,

a n+1 + a n-1	=	2n - 5 + 2n - 9	= 2n - 7 = a n ,
2		2

◄

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a 1 , но и любой предыдущий a k

a n = a k + (n - k )d .

Например,

для a 5 можно записать

a 5 = a 1 + 4d ,

a 5 = a 2 + 3d ,

a 5 = a 3 + 2d ,

a 5 = a 4 + d . ◄

a n = a n-k + kd ,

a n = a n+k - kd ,

то, очевидно,

a n =	a n-k + a n+k
	2

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

a m + a n = a k + a l ,

m + n = k + l.

Например,

в арифметической прогрессии

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13 )/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9 , так как

a 2 + a 12 = 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n ,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

a k , a k +1 , . . . , a n ,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

Например,

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a 1 , a n , d , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

если d > 0 , то она является возрастающей;
если d < 0 , то она является убывающей;
если d = 0 , то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n , . . .

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

b n +1 = b n · q ,

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q .

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

Например,

если b 1 = 1, q = -3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q = -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q = 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q = -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:

b n = b 1 · q n -1 .

Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64 . ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n ,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b n = -3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

b n = -3 · 2 n ,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Следовательно,

b n 2 = (-3 · 2 n ) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b 1 , но и любой предыдущий член b k , для чего достаточно воспользоваться формулой

b n = b k · q n - k .

Например,

для b 5 можно записать

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3 ,

b 5 = b 3 · q 2 ,

b 5 = b 4 · q . ◄

b n = b k · q n - k ,

b n = b n - k · q k ,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k · b n + k

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

b m · b n = b k · b l ,

m + n = k + l .

Например,

в геометрической прогрессии

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так как

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n = b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

S n = nb 1

Заметим, что если нужно просуммировать члены

b k , b k +1 , . . . , b n ,

то используется формула:

S n - S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b 1 , b n , q , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b 1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :

прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и q > 1;

b 1 < 0 и 0 < q < 1;

прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и 0 < q < 1;

b 1 < 0 и q > 1.

Если q < 0 , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

P n = b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n ) n / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть

|q | < 1 .

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

1 < q < 0 .

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой

S = b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем q , то

log a b 1 , log a b 2 , log a b 3 , . . . — арифметическая прогрессия с разностью log a q .

Например,

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6 . ◄

Формула n-го члена геометрической прогрессии – штука очень простая. Как по смыслу, так и по общему виду. Но задачки на формулу n-го члена встречаются всякие – от совсем примитивных до вполне себе серьёзных. И в процессе нашего знакомства мы обязательно рассмотрим и те и другие. Ну что, знакомимся?)

Итак, для начала собственно сама формула n

Вот она:

b n = b 1 · q n -1

Формула как формула, ничего сверхъестественного. Выглядит даже проще и компактнее, чем аналогичная формула для . Смысл формулы тоже прост, как валенок.

Эта формула позволяет находить ЛЮБОЙ член геометрической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ " n ".

Как вы видите, по смыслу полная аналогия с арифметической прогрессией. Знаем номер n – можем посчитать и член, стоящий под этим номером. Какой хотим. Не умножая последовательно на "q" много-много раз. Вот и весь смысл.)

Я понимаю, что на данном уровне работы с прогрессиями все входящие в формулу величины вам уже должны быть понятны, но считаю своим долгом всё-таки расшифровать каждую. На всякий случай.

Итак, поехали:

b 1 – первый член геометрической прогрессии;

q – ;

n – номер члена;

b n – энный (n -й) член геометрической прогрессии.

Эта формулка связывает четыре главных параметра любой геометрической прогрессии – b n , b 1 , q и n . И вокруг этих четырёх ключевых фигур и вертятся все-все задачки по прогрессии.

"А как она выводится?" – слышу любопытный вопрос… Элементарно! Смотрите!

Чему равен второй член прогрессии? Не вопрос! Прямо по пишем:

b 2 = b 1 ·q

А третий член? Тоже не проблема! Второй член помножаем ещё раз на q .

Вот так:

B 3 = b 2 ·q

Вспомним теперь, что второй член, в свою очередь, у нас равен b 1 ·q и подставим это выражение в наше равенство:

B 3 = b 2 ·q = (b 1 ·q)·q = b 1 ·q·q = b 1 ·q 2

Получаем:

B 3 = b 1 ·q 2

А теперь прочитаем нашу запись по-русски: третий член равен первому члену, умноженному на q во второй степени. Улавливаете? Пока нет? Хорошо, ещё один шаг.

Чему равен четвёртый член? Всё то же самое! Умножаем предыдущий (т.е. третий член) на q:

B 4 = b 3 ·q = (b 1 ·q 2)·q = b 1 ·q 2 ·q = b 1 ·q 3

Итого:

B 4 = b 1 ·q 3

И снова переводим на русский язык: четвёртый член равен первому члену, умноженному на q в третьей степени.

И так далее. Ну и как? Уловили закономерность? Да! Для любого члена с любым номером количество одинаковых множителей q (т.е. степень знаменателя) всегда будет на единичку меньше, чем номер искомого члена n .

Стало быть, наша формула будет, без вариантов:

b n = b 1 · q n -1

Вот и все дела.)

Ну что, порешаем задачки, наверное?)

Решение задач на формулу n -го члена геометрической прогрессии.

Начнём, как обычно, с прямого применения формулы. Вот типичная задачка:

В геометрической прогрессии известно, что b 1 = 512 и q = -1/2. Найдите десятый член прогрессии.

Конечно, эту задачку можно вообще безо всяких формул решить. Прямо по смыслу геометрической прогрессии. Но нам ведь с формулой n-го члена размяться нужно, правда? Вот и разминаемся.

Наши данные для применения формулы следующие.

Известен первый член. Это 512.

b 1 = 512.

Известен также знаменатель прогрессии: q = -1/2.

Остаётся только сообразить, чему равен номер члена n. Не вопрос! Нас интересует десятый член? Вот и подставляем в общую формулу десятку вместо n.

И аккуратно считаем арифметику:

Ответ: -1

Как видим, десятый член прогрессии оказался с минусом. Ничего удивительного: знаменатель прогрессии у нас -1/2, т.е. отрицательное число. А это говорит нам о том, что знаки у нашей прогрессии чередуются, да.)

Здесь всё просто. А вот похожая задачка, но немного посложнее в плане вычислений.

В геометрической прогрессии известно, что:

b 1 = 3

Найдите тринадцатый член прогрессии.

Всё то же самое, только в этот раз знаменатель прогрессии – иррациональный . Корень из двух. Ну и ничего страшного. Формула – штука универсальная, с любыми числами справляется.

Работаем прямо по формуле:

Формула, конечно, сработала как надо, но… вот тут некоторые и зависнут. Что дальше делать с корнем? Как возвести корень в двенадцатую степень?

Как-как… Надо понимать, что любая формула, конечно, дело хорошее, но знание всей предыдущей математики при этом не отменяется! Как возвести? Да свойства степеней вспомнить! Превратим корень в степень с дробным показателем и – по формуле возведения степени в степень.

Вот так:

Ответ: 192

И все дела.)

В чём состоит основная трудность при прямом применении формулы n-го члена? Да! Основная трудность – это работа со степенями! А именно – возведение в степень отрицательных чисел, дробей, корней и тому подобных конструкций. Так что те, у кого с этим проблемы, настоятельная просьба повторить степени и их свойства! Иначе и в этой теме будете тормозить, да…)

А теперь порешаем типовые задачки на поиск одного из элементов формулы , если даны все остальные. Для успешного решения таких задач рецепт един и прост до ужаса – пишем формулу n -го члена в общем виде! Прямо в тетрадке рядышком с условием. А затем из условия соображаем, что нам дано, а чего не хватает. И выражаем из формулы искомую величину. Всё!

Например, такая безобидная задачка.

Пятый член геометрической прогрессии со знаменателем 3 равен 567. Найдите первый член этой прогрессии.

Ничего сложного. Работаем прямо по заклинанию.

Пишем формулу n-го члена!

b n = b 1 · q n -1

Что нам дано? Во-первых, дан знаменатель прогрессии: q = 3.

Кроме того, нам дан пятый член : b 5 = 567 .

Всё? Нет! Ещё нам дан номер n! Это – пятёрка: n = 5.

Надеюсь, вы уже понимаете, что в записи b 5 = 567 скрыты сразу два параметра – это сам пятый член (567) и его номер (5). В аналогичном уроке по я об этом уже говорил, но и здесь считаю не лишним напомнить.)

Вот теперь подставляем наши данные в формулу:

567 = b 1 ·3 5-1

Считаем арифметику, упрощаем и получаем простенькое линейное уравнение:

81 b 1 = 567

Решаем и получаем:

b 1 = 7

Как вы видите, с поиском первого члена проблем никаких. А вот при поиске знаменателя q и номера n могут встречаться и сюрпризы. И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да.)

Например, такая задачка:

Пятый член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

В этот раз нам даны первый и пятый члены, а найти просят знаменатель прогрессии. Вот и приступаем.

Пишем формулу n -го члена!

b n = b 1 · q n -1

Наши исходные данные будут следующими:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Не хватает значения q . Не вопрос! Сейчас найдём.) Подставляем в формулу всё что нам известно.

Получаем:

162 = 2· q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Простенькое уравнение четвёртой степени. А вот сейчас – аккуратно! На данном этапе решения многие ученики сразу же радостно извлекают корень (четвёртой степени) и получают ответ q =3 .

Вот так:

q 4 = 81

q = 3

Но вообще-то, это недоделанный ответ. Точнее, неполный. Почему? Дело в том, что ответ q = -3 тоже подходит: (-3) 4 тоже будет 81!

Всё из-за того, что степенное уравнение x n = a всегда имеет два противоположных корня при чётном n . С плюсом и с минусом:

Оба подходят.

Например, решая (т.е. второй степени)

x 2 = 9

Вы же почему-то не удивляетесь появлению двух корней x=±3? Вот и тут то же самое. И с любой другой чётной степенью (четвёртой, шестой, десятой и т.д.) будет так же. Подробности – в теме про

Поэтому правильное решение будет таким:

q 4 = 81

q = ±3

Хорошо, со знаками разобрались. Какой же из них правильный – плюс или минус? Что ж, читаем ещё раз условие задачи в поисках дополнительной информации. Её, конечно, может и не быть, но в данной задаче такая информация имеется. У нас в условии прямым текстом сказано, что дана прогрессия с положительным знаменателем.

Поэтому ответ очевиден:

q = 3

Здесь-то всё просто. А как вы думаете, что было бы, если бы формулировка задачи была бы вот такой:

Пятый член геометрической прогрессии равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

В чём отличие? Да! В условии ничего не сказано про знак знаменателя. Ни прямо, ни косвенно. И вот тут задачка уже имела бы два решения!

q = 3 и q = -3

Да-да! И с плюсом и с минусом.) Математически сей факт означал бы, что существуют две прогрессии , которые подходят под условие задачи. И для каждой – свой знаменатель. Ради интереса, потренируйтесь и выпишите первые пять членов каждой из них.)

А теперь потренируемся номер члена находить. Эта задачка самая сложная, да. Но зато и более творческая.)

Дана геометрическая прогрессия:

3; 6; 12; 24; …

Под каким номером в этой прогрессии стоит число 768?

Первый шаг всё тот же: пишем формулу n -го члена!

b n = b 1 · q n -1

А теперь, как обычно, подставляем в неё известные нам данные. Гм… не подставляется! Где первый член, где знаменатель, где всё остальное?!

Где-где… А глазки нам зачем? Ресницами хлопать? В этот раз прогрессия задана нам напрямую в виде последовательности. Первый член видим? Видим! Это – тройка (b 1 = 3). А знаменатель? Пока не видим, но он очень легко считается. Если, конечно, понимать, .

Вот и считаем. Прямо по смыслу геометрической прогрессии: берём любой её член (кроме первого) и делим на предыдущий.

Хотя бы вот так:

q = 24/12 = 2

Что ещё нам известно? Нам ещё известен некоторый член этой прогрессии, равный 768. Под каким-то номером n:

b n = 768

Номер его нам неизвестен, но наша задача как раз и состоит в том, чтобы его отыскать.) Вот и ищем. Все необходимые данные для подстановки в формулу мы уже скачали. Незаметно для себя.)

Вот и подставляем:

768 = 3·2 n -1

Делаем элементарные – делим обе части на тройку и переписываем уравнение в привычном виде: неизвестное слева, известное - справа.

Получаем:

2 n -1 = 256

Вот такое интересное уравнение. Надо найти "n". Что, непривычно? Да, я не спорю. Вообще-то, это простейшее . Оно так называется из-за того, что неизвестное (в данном случае это – номер n ) стоит в показателе степени.

На этапе знакомства с геометрической прогрессией (это девятый класс) показательные уравнения решать не учат, да… Это тема старших классов. Но страшного ничего нет. Даже если вы не в курсе, как решаются такие уравнения, попробуем найти наше n , руководствуясь простой логикой и здравым смыслом.

Начинаем рассуждать. Слева у нас стоит двойка в какой-то степени . Мы пока не знаем, что это конкретно за степень, но это и не страшно. Но зато мы твёрдо знаем, что эта степень равна 256! Вот и вспоминаем, в какой же степени двойка даёт нам 256. Вспомнили? Да! В восьмой степени!

256 = 2 8

Если не вспомнили или с распознаванием степеней проблемы, то тоже ничего страшного: просто последовательно возводим двойку в квадрат, в куб, в четвёртую степень, пятую и так далее. Подбор, фактически, но на данном уровне – вполне прокатит.

Так или иначе, мы получим:

2 n -1 = 2 8

n -1 = 8

n = 9

Итак, 768 – это девятый член нашей прогрессии. Всё, задача решена.)

Ответ: 9

Что? Скучно? Надоела элементарщина? Согласен. И мне тоже. Шагаем на следующий уровень.)

Более сложные задачи.

А теперь решаем задачки покруче. Не то чтобы совсем уж сверхкрутые, но над которыми предстоит немного поработать, чтобы добраться до ответа.

Например, такая.

Найдите второй член геометрической прогрессии, если четвёртый её член равен -24, а седьмой член равен 192.

Это классика жанра. Известны какие-то два разных члена прогрессии, а найти надо ещё какой-то член. Причём все члены НЕ соседние. Что и смущает поначалу, да…

Как и в , для решения таких задач рассмотрим два способа. Первый способ – универсальный. Алгебраический. Работает безотказно и с любыми исходными данными. Поэтому именно с него и начнём.)

Расписываем каждый член по формуле n -го члена!

Всё точь-в-точь как с арифметической прогрессией. Только в этот раз работаем с другой общей формулой. Вот и всё.) Но суть та же самая: берём и поочерёдно подставляем в формулу n-го члена наши исходные данные. Для каждого члена – свои.

Для четвёртого члена записываем:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Есть. Одно уравнение готово.

Для седьмого члена пишем:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Итого получили два уравнения для одной и той же прогрессии .

Собираем из них систему:

Несмотря на её грозный вид, системка совсем простая. Самый очевидный способ решения – обычная подстановка. Выражаем b 1 из верхнего уравнения и подставляем в нижнее:

Немного повозившись с нижним уравнением (сократив степени и поделив на -24), получим:

q 3 = -8

К этому же уравнению, между прочим, можно прийти и более простым путём! Каким? Сейчас я вам продемонстрирую ещё один секретный, но оч-чень красивый, мощный и полезный способ решения подобных систем. Таких систем, в уравнениях которых сидят только произведения. Хотя бы в одном. Называется метод почленного деления одного уравнения на другое.

Итак, перед нами система:

В обоих уравнениях слева – произведение , а справа – просто число. Это очень хороший знак.) Давайте возьмём и… поделим, скажем, нижнее уравнение на верхнее! Что значит, поделим одно уравнение на другое? Очень просто. Берём левую часть одного уравнения (нижнего) и делим её на левую часть другого уравнения (верхнего). С правой частью аналогично: правую часть одного уравнения делим на правую часть другого.

Весь процесс деления выглядит так:

Теперь, сократив всё, что сокращается, получим:

q 3 = -8

Чем хорош этот способ? Да тем, что в процессе такого деления всё нехорошее и неудобное может благополучно сократиться и остаться вполне безобидное уравнение! Именно поэтому так важно наличие только умножения хотя бы в одном из уравнений системы. Нету умножения – нечего и сокращать, да…

А вообще, этот способ (как и многие другие нетривиальные способы решения систем) даже заслуживает отдельного урока. Обязательно его разберу поподробнее. Когда-нибудь…

Впрочем, неважно, как именно вы решаете систему, в любом случае теперь нам надо решить получившееся уравнение:

q 3 = -8

Никаких проблем: извлекаем корень (кубический) и – готово!

Прошу заметить, что здесь при извлечении ставить плюс/минус не нужно. Нечётной (третьей) степени у нас корень. И ответ – тоже один, да.)

Итак, знаменатель прогрессии найден. Минус два. Отлично! Процесс идёт.)

Для первого члена (скажем, из верхнего уравнения) мы получим:

Отлично! Знаем первый член, знаем знаменатель. И теперь у нас появилась возможность найти любой член прогрессии. В том числе и второй.)

Для второго члена всё совсем просто:

b 2 = b 1 · q = 3·(-2) = -6

Ответ: -6

Итак, алгебраический способ решения задачи мы с вами разложили по полочкам. Сложно? Не очень, согласен. Долго и нудно? Да, безусловно. Но иногда можно существенно сократить объём работы. Для этого есть графический способ. Старый добрый и знакомый нам по .)

Рисуем задачу!

Да! Именно так. Снова изображаем нашу прогрессию на числовой оси. Не обязательно по линеечке, не обязательно выдерживать равные интервалы между членами (которые, кстати, и не будут одинаковыми, т.к. прогрессия - геометрическая!), а просто схематично рисуем нашу последовательность.

У меня получилось вот так:

А теперь смотрим на картинку и соображаем. Сколько одинаковых множителей "q" разделяют четвёртый и седьмой члены? Верно, три!

Стало быть, имеем полное право записать:

-24· q 3 = 192

Отсюда теперь легко ищется q:

q 3 = -8

q = -2

Вот и отлично, знаменатель у нас уже в кармане. А теперь снова смотрим на картинку: сколько таких знаменателей сидит между вторым и четвёртым членами? Два! Стало быть, для записи связи между этими членами знаменатель будем возводить в квадрат .

Вот и пишем:

b 2 · q 2 = -24 , откуда b 2 = -24/ q 2

Подставляем наш найденный знаменатель в выражение для b 2 , считаем и получаем:

Ответ: -6

Как видим, всё гораздо проще и быстрее, чем через систему. Более того, здесь нам вообще даже не понадобилось считать первый член! Совсем.)

Вот такой простой и наглядный способ-лайт. Но есть у него и серьёзный недостаток. Догадались? Да! Он годится только для очень коротких кусочков прогрессии. Таких, где расстояния между интересующими нас членами не очень большие. А вот во всех остальных случаях картинку рисовать уже затруднительно, да… Тогда решаем задачу аналитически, через систему.) А системы – штука универсальная. С любыми числами справляются.

Ещё одна эпичная задачка:

Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого, а третий член на 30 больше второго. Найдите знаменатель прогрессии.

Что, круто? Вовсе нет! Всё то же самое. Снова переводим условие задачи в чистую алгебру.

1) Расписываем каждый член по формуле n -го члена!

Второй член: b 2 = b 1 ·q

Третий член: b 3 = b 1 ·q 2

2) Записываем связь между членами из условия задачи.

Читаем условие: "Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого". Стоп, это ценно!

Так и пишем:

b 2 = b 1 +10

И эту фразу переводим в чистую математику:

b 3 = b 2 +30

Получили два уравнения. Объединяем их в систему:

Система на вид простенькая. Но что-то уж много различных индексов у буковок. Подставим-ка вместо второго и третьего членов их выражения через первый член и знаменатель! Зря, что ли, мы их расписывали?

Получим:

А вот такая система – уже не подарок, да… Как такое решать? К сожалению, универсального секретного заклинания на решение сложных нелинейных систем в математике нет и быть не может. Это фантастика! Но первое что должно приходить вам в голову при попытке разгрызть подобный крепкий орешек – это прикинуть, а не сводится ли одно из уравнений системы к красивому виду, позволяющему, например, легко выразить одну из переменных через другую?

Вот и прикинем. Первое уравнение системы явно проще второго. Его и подвергнем пыткам.) А не попробовать ли из первого уравнения что-то выразить через что-то? Раз уж мы хотим найти знаменатель q , то выгоднее всего нам было бы выразить b 1 через q .

Вот и попробуем проделать эту процедуру с первым уравнением, применяя старые добрые :

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Всё! Вот мы и выразили ненужную нам переменную (b 1) через нужную (q). Да, не самое простое выражение получили. Дробь какую-то… Но и система у нас приличного уровня, да.)

Типичное . Что делать – знаем.

Пишем ОДЗ (обязательно!) :

q ≠ 1

Умножаем всё на знаменатель (q-1) и сокращаем все дроби:

10 q 2 = 10 q + 30(q -1)

Делим всё на десятку, раскрываем скобки, собираем всё слева:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Решаем получившееся и получаем два корня:

q 1 = 1

q 2 = 3

Окончательный ответ один: q = 3 .

Ответ: 3

Как вы видите, путь решения большинства задач на формулу n-го члена геометрической прогрессии всегда един: читаем внимательно условие задачи и с помощью формулы n-го члена переводим всю полезную информацию в чистую алгебру.

А именно:

1) Расписываем отдельно каждый данный в задаче член по формуле n -го члена.

2) Из условия задачи переводим связь между членами в математическую форму. Составляем уравнение или систему уравнений.

3) Решаем полученное уравнение или систему уравнений, находим неизвестные параметры прогрессии.

4) В случае неоднозначного ответа читаем внимательно условие задачи в поисках дополнительной информации (если таковая присутствует). Также сверяем полученный ответ с условиями ОДЗ (если таковые имеются).

А теперь перечислим основные проблемы, наиболее часто приводящие к ошибкам в процессе решения задач на геометрическую прогрессию.

1. Элементарная арифметика. Действия с дробями и отрицательными числами.

2. Если хотя бы с одним из этих трёх пунктов проблемы, то неизбежно будете ошибаться и в этой теме. К сожалению… Так что не ленитесь и повторите то о чём упомянуто выше. И по ссылочкам – сходите. Иногда помогает.)

Видоизменённые и рекуррентные формулы.

А теперь рассмотрим парочку типичных экзаменационных задачек с менее привычной подачей условия. Да-да, вы угадали! Это видоизменённые и рекуррентные формулы n-го члена. С такими формулами мы уже с вами сталкивались и работали в по арифметической прогрессии. Здесь всё аналогично. Суть та же.

Например, такая задачка из ОГЭ:

Геометрическая прогрессия задана формулой b n = 3·2 n . Найдите сумму первого и четвёртого её членов.

В этот раз прогрессия нам задана не совсем привычно. В виде какой-то формулы. Ну и что? Эта формула – тоже формула n -го члена! Мы же с вами знаем, что формулу n-го члена можно записать как в общем виде, через буквы, так и для конкретной прогрессии . С конкретными первым членом и знаменателем.

В нашем случае нам, на самом деле, задана формула общего члена для геометрической прогрессии вот с такими параметрами:

b 1 = 6

q = 2

Проверим?) Запишем формулу n-го члена в общем виде и подставим в неё b 1 и q . Получим:

b n = b 1 · q n -1

b n = 6·2 n -1

Упрощаем, используя разложение на множители и свойства степеней, и получаем:

b n = 6·2 n -1 = 3·2·2 n -1 = 3·2 n -1+1 = 3·2 n

Как видите, всё честно. Но наша с вами цель – не продемонстрировать вывод конкретной формулы. Это так, лирическое отступление. Чисто для понимания.) Наша цель - решить задачу по той формуле, что дана нам в условии. Улавливаете?) Вот и работаем с видоизменённой формулой напрямую.

Считаем первый член. Подставляем n =1 в общую формулу:

b 1 = 3·2 1 = 3·2 = 6

Вот так. Кстати, не поленюсь и ещё раз обращу ваше внимание на типовой ляп с подсчётом первого члена. НЕ НАДО, глядя на формулу b n = 3·2 n , сразу бросаться писать, что первый член – тройка! Это – грубейшая ошибка, да…)

Продолжаем. Подставляем n =4 и считаем четвёртый член:

b 4 = 3·2 4 = 3·16 = 48

Ну и наконец, считаем требуемую сумму:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Ответ: 54

Ещё задачка.

Геометрическая прогрессия задана условиями:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Найдите четвёртый член прогрессии.

Здесь прогрессия задана рекуррентной формулой. Ну и ладно.) Как работать с такой формулой – тоже знаем.

Вот и действуем. По шагам.

1) Считаем два последовательных члена прогрессии.

Первый член нам уже задан. Минус семь. А вот следующий, второй член, легко можно посчитать по рекуррентной формуле. Если понимать принцип её работы, конечно.)

Вот и считаем второй член по известному первому:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Считаем знаменатель прогрессии

Тоже никаких проблем. Прямо , делим второй член на первый.

Получаем:

q = -21/(-7) = 3

3) Пишем формулу n -го члена в привычном виде и считаем нужный член.

Итак, первый член знаем, знаменатель – тоже. Вот и пишем:

b n = -7·3 n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Ответ: -189

Как вы видите, работа с такими формулами для геометрической прогрессии ничем по своей сути не отличается от таковой для прогрессии арифметической. Важно лишь понимать общую суть и смысл этих формул. Ну и смысл геометрической прогрессии тоже надо понимать, да.) И тогда глупых ошибок не будет.

Ну что, порешаем самостоятельно?)

Совсем элементарные задачки, для разминки:

1. Дана геометрическая прогрессия, в которой b 1 = 243, а q = -2/3. Найдите шестой член прогрессии.

2. Общий член геометрической прогрессии задан формулой b n = 5∙2 n +1 . Найдите номер последнего трёхзначного члена этой прогрессии.

3. Геометрическая прогрессия задана условиями:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Найдите пятый член прогрессии.

Чуть посложнее:

4. Дана геометрическая прогрессия:

b 1 =2048; q =-0,5

Чему равен шестой отрицательный её член?

Что, кажется суперсложно? Вовсе нет. Спасёт логика и понимание смысла геометрической прогрессии. Ну и формула n-го члена, само собой.

5. Третий член геометрической прогрессии равен -14, а восьмой член равен 112. Найдите знаменатель прогрессии.

6. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите шестой член прогрессии.

Ответы (в беспорядке): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Вот почти и всё. Осталось лишь научиться нам считать сумму n первых членов геометрической прогрессии да открыть для себя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумму. Очень интересную и необычную штуку, между прочим! Об этом - в следующих уроках.)

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

Теоретические сведения

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение	Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий)	Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула	Для любого натурального n a n + 1 = a n + d	Для любого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d

По условию:

a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .

Так как b 1 = -3,

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ : b 5 = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

Подставим данные в формулу:

Ответ : 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ : 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .

По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

Ответ : .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

Ответ : 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.

Рассмотрим некоторый ряд.

7 28 112 448 1792...

Совершенно ясно видно, что значение любого его элемента больше предыдущего ровно в четыре раза. Значит, данный ряд является прогрессией.

Геометрической прогрессиейименуется бесконечная последовательность чисел, главной особенностью которой является то, что следующее число получается из предыдущего посредством умножения на какое-то определенное число. Это выражается следующей формулой.

a z +1 =a z ·q, где z - номер выбранного элемента.

Соответственно, z ∈ N.

Период, когда в школе изучается геометрическая прогрессия - 9 класс. Примеры помогут разобраться в понятии:

0.25 0.125 0.0625...

Исходя из этой формулы, знаменатель прогрессии возможно найти следующим образом:

Ни q, ни b z не могут равняться нулю. Так же каждый из элементов прогрессии не должен равняться нулю.

Соответственно, чтобы узнать следующее число ряда, нужно умножить последнее на q.

Чтобы задать данную прогрессию, необходимо указать первый ее элемент и знаменатель. После этого возможно нахождение любого из последующих членов и их суммы.

Разновидности

В зависимости от q и a 1, данная прогрессия разделяется на несколько видов:

Если и a 1 , и q больше единицы, то такая последовательность - возрастающая с каждым следующим элементом геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a 1 =3, q=2 - оба параметра больше единицы.

Тогда числовая последовательность может быть записана так:

3 6 12 24 48 ...

Если |q| меньше единицы, то есть, умножение на него эквивалентно делению, то прогрессия с подобными условиями - убывающая геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 больше единицы, q - меньше.

Тогда числовую последовательность можно записать таким образом:

6 2 2/3 ... - любой элемент больше элемента, следующего за ним, в 3 раза.

Знакопеременная. Если q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3 , q = -2 - оба параметра меньше нуля.

Тогда числовую последовательность можно записать так:

3, 6, -12, 24,...

Формулы

Для удобного использования геометрических прогрессий существует множество формул:

Формула z-го члена. Позволяет рассчитать элемент, стоящий под конкретным номером без расчета предыдущих чисел.

Пример: q = 3, a 1 = 4. Требуется посчитать четвертый элемент прогрессии.

Решение: a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

Сумма первых элементов, чье количество равно z . Позволяет рассчитать сумму всех элементов последовательности до a z включительно.

Так как (1- q ) стоит в знаменателе, то (1 - q) ≠ 0, следовательно, q не равно 1.

Замечание: если бы q=1, то прогрессия представляла бы собой ряд из бесконечно повторяющегося числа.

Сумма геометрической прогрессии, примеры: a 1 = 2, q = -2. Посчитать S 5 .

Решение: S 5 = 22 - расчет по формуле.

Сумма, если | q | < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример: a 1 = 2 , q = 0.5. Найти сумму.

Решение: S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Некоторые свойства:

Характеристическое свойство. Если следующее условие выполняется для любого z , то заданный числовой ряд - геометрическая прогрессия:

a z 2 = a z -1 · a z+1

Так же квадрат любого числа геометрической прогрессии находится при помощи сложения квадратов двух других любых чисел в заданном ряду, если они равноудалены от этого элемента.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , где t - расстояние между этими числами.

Элементы различаются в q раз.
Логарифмы элементов прогрессии так же образуют прогрессию, но уже арифметическую, то есть каждый из них больше предыдущего на определенное число.

Примеры некоторых классических задач

Чтобы лучше понять, что такое геометрическая прогрессия, примеры с решением для 9 класса могут помочь.

Условия: a 1 = 3, a 3 = 48. Найти q .

Решение: каждый последующий элемент больше предыдущего в q раз. Необходимо выразить одни элементы через другие с помощью знаменателя.

Следовательно, a 3 = q 2 · a 1

При подстановке q = 4

Условия: a 2 = 6, a 3 = 12. Рассчитать S 6 .

Решение: Для этого достаточно найти q, первый элемент и подставить в формулу.

a 3 = q · a 2 , следовательно, q = 2

a 2 = q · a 1 , поэтому a 1 = 3

S 6 = 189

· a 1 = 10, q = -2. Найти четвертый элемент прогрессии.

Решение: для этого достаточно выразить четвертый элемент через первый и через знаменатель.

a 4 = q 3 · a 1 = -80

Пример применения:

Клиент банка совершил вклад на сумму 10000 рублей, по условиям которого каждый год клиенту к основной сумме будут прибавляться 6% от нее же. Сколько средств будет на счету через 4 года?

Решение: Изначальная сумма равна 10 тысячам рублей. Значит, через год после вложения на счету будет сумма, равная 10000 + 10000· 0.06 = 10000 · 1.06

Соответственно, сумма на счете еще через один год будет выражаться следующим образом:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

То есть с каждым годом сумма увеличивается в 1.06 раз. Значит, чтобы найти количество средств на счете через 4 года, достаточно найти четвертый элемент прогрессии, которая задана первым элементом, равным 10 тысячам, и знаменателем, равным 1.06.

S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625