Решать уравнения со степенью 3. Различные методы решения уравнений третьей степени. Как решать кубические уравнения

Кубическое уравнение – алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид кубического уравнения: ах3 + bх2 + сх + d = 0, а ≠ 0

Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством х = у – (b/3а), кубическое уравнение можно привести к более простому (каноническому) виду: у3 + pу + q = 0, где p = - b2 + с, q = 2b – bс + d

3а2 а 27а3 3а2 а решение этого уравнения можно получить с помощью формулы Кардано.

1. 1 История кубических уравнений

Термин «кубическое уравнение» ввели Р. Декарт (1619 г.) и У. Оутред (1631г.).

Первые попытки найти решения задач, сводящихся к кубическим уравнениям, были сделаны математиками древности (например, задачи об удвоении куба и трисекции угла).

Математики средневековья Востока создали довольно развитую теорию (в геометрической форме) кубических уравнений; наиболее обстоятельно она изложена в трактате доказательств задач алгебры и алмукабалы «Омара Хайя» (около 1070 года), где рассмотрен вопрос о нахождении положительных корней 14 видов кубических уравнений, содержащих в обеих частях только члены с положительными коэффициентами.

В Европе впервые в тригонометрической форме решение одного случая кубического уравнения дал Виет (1953 г.).

Первое решение в радикалах одного из видов кубических уравнений удалось найти С. Ферро (около 1515 г.), однако оно не было опубликовано. Открытие независимо повторили Тарталья (1535 г.), указав правило решения еще двух других видов кубических уравнений. Опубликованы эти открытия в 1545 году Дж. Кардано, который упомянул об авторстве Н. Тартальи.

В конце XV в. профессор математики в университетах Рима и Милана Лука Пачоли в своем знаменитом учебнике «Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» задачу о нахождении общего метода для решения кубических уравнений ставил в один ряд с задачей о квадратуре круга. И все же усилиями итальянских алгебраистов такой метод вскоре был найден.

Начнём с упрощения

Если кубическое уравнение общего вида ах3 + bх2 + сх + d = 0, где а ≠ 0, разделить на а, то коэффициент при х3 станет равен 1. Поэтому в дальнейшем будем исходить из уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0. (1)

Так же как в основе решения квадратного уравнения лежит формула квадрата суммы, решение кубического уравнения опирается на формулу куба суммы:

(а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3.

Чтобы не путаться в коэффициентах, заменим здесь а на х и перегруппируем слагаемые:

(х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3. (2)

Мы видим, что надлежащим образом b, а именно взяв b = P/3, можно добиться того, что правая часть этой формулы будет отличаться от левой части уравнения х3 + Pх2 + Qх + R = 0 только коэффициентом при х и свободным членом. Сложим уравнение х3 + Pх2 + Qх + R = 0 и (х + b)3 = х3 + 3bх2 + 3b2х + b3 и приведём подобные:

(х + b)3 + (Q – 3b2)х + R – b3 = 0.

Если здесь сделать замену y = х + b, получим кубическое уравнение относительно у без члена с у2: у3 + ру + q = 0.

Итак, мы показали, что в кубическом уравнении х3 + Pх2 + Qх + R = 0 с помощью подходящей подстановки можно избавиться от члена, содержащего квадрат неизвестного. Поэтому теперь будем решать уравнение вида х3 + рх + q = 0. (3)

1. 2 История формулы Кардано

Формула Кардано названа по имени Дж. Кардано, впервые опубликовавшего её в 1545 году.

Автор этой формулы Никколо Тарталья. Он создал это решение в 1535 г. специально для участия в математическом состязании, в котором, естественно, победил. Тарталья, сообщая формулу (в стихотворной форме) Кардано, представил только ту часть решения кубического уравнения, в которой корень имеет одно (действительное) значение.

Результаты Кардано в этой формуле относятся к рассмотрению так называемого неприводимого случая, в котором уравнение имеет три значения (действительных значений, в те времена не было ни мнимых, ни даже отрицательных чисел, хотя попытки в этом направлении были). Однако, вопреки тому, что Кардано указал в своей публикации на авторство Тартальи, формулу называют именем Кардано.

1. 3 Формула Кардано

Теперь давайте еще раз обратимся к формуле куба суммы, но запишем ее иначе:

(а + b)3 = а3 + b3 + 3аb(а + b).

Сравните эту запись с уравнением х3 + рх + q = 0 и попробуйте установить связь между ними. Подставим в нашу формулу х = а + b: х3 = а3 + b3 + 3аbх, или х3 – 3аbх – (а3 + b3) = 0

Теперь уже ясно: для того, чтобы найти корень уравнения х3 + рх + q = 0, достаточно решить систему уравнений а3 + b3 = - q, а3 + b3 = - q, или

3аb = - p,а3b3 = - p 3,

3 и взять в качестве х сумму а и b. Заменой и = а3, v = b3 эта система приводится к совсем простому виду: и + v = - q, иv = - p 3.

Дальше можно действовать по-разному, но все «дороги» приведут к одному и тому же квадратному уравнению. Например, согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при х со знаком минус, а произведение – свободному члену. Отсюда следует, что и и v – корни уравнения t2 + qt – (p/3)3 = 0.

Выпишем эти корни: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.

Переменные а и b равны кубическим корням из t1 и t2, а искомое решение кубического уравнения х3 + рх + q = 0 – сумме этих корней: х = 3 – q + q 2 + p 3+ 3 – q – q 2 + p 3.

Эта формула известна как формула Кардано.

Решаем уравнения

Прежде, чем посмотреть на формулу Кардано в работе, поясним, как по одному корню кубического уравнения х3 + рх + q = 0 найти другие его корни, если они есть.

Пусть известно, что наше уравнение имеет корень h. Тогда его левую часть можно разложить на линейный и квадратный множители. Делается это очень просто. Подставляем в уравнение выражение свободного члена через корень q = - h3 – ph и пользуемся формулой разности кубов:

0 = х3 – h3 + px – ph = (x – h)(x2 + hx + h2) + p(x - h) = (x – h)(x2 + hx + h2 + p).

Теперь можно решить квадратное уравнение х2 + hx + h2 + p = 0 и найти остальные корни данного кубического уравнения.

Итак, мы во всеоружии и, казалось бы, можем справиться с любым кубическим уравнением. Давайте попробуем свои силы.

1. Начнем с уравнения х3 + 6х – 2 = 0

Подставляем в формулу Кардано p = 6 и q = -2 и после несложных сокращений получаем ответ: х = 3√4 – 3√2. Что ж, формула вполне симпатичная. Только перспектива выносить множитель х – (3√4 – 3√2) из левой части уравнения и решать остающееся квадратное уравнение со «страшными» коэффициентами для вычисления других корней не очень-то вдохновляет. Однако, присмотревшись к уравнению внимательнее, можно успокоиться: функция в левой части строго возрастает и поэтому может обращаться в нуль только один раз. Значит, найденное число – единственный действительный корень уравнения.

у у = х3 + 6х – 2

3√4 – 3√2 х

Рис. 1 График функции у = х3 + 6х – 2 пересекает ось абсцисс в одной точке - 3√4 – 3√2.

2. Следующий пример – уравнение х3 + 3х – 4 = 0.

Формула Кардано дает х = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.

Как и в предыдущем примере, мы видим, что этот корень единственный. Но не нужно обладать сверхпроницательностью, чтобы, глядя на уравнение, угадать его корень: х = 1. Приходится признать, что формула выдала обычную единицу в таком причудливом виде. Между прочим, упростить это громоздкое, но не лишенное изящества выражение алгебраическими преобразованиями не удается – кубические иррациональности в нем неустранимы.

3. Ну а теперь возьмем уравнение, заведомо имеющее три действительных корня. Составить его легко – просто перемножим три скобки вида х – b. Нужно только позаботиться, чтобы сумма корней равнялась нулю, ведь, по общей теореме Виета, она отличается от коэффициента при х2 только знаком. Самый простой набор таких корней – это 0, 1 и – 1.

Применим формулу Кардано к уравнению х (х – 1)(х + 1) = 0, или х3 – х = 0.

Полагая в ней p = -1 и q = 0, получаем х = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.

у у = х (х - 1)(х + 1)

Рис. 2 Уравнение х (х – 1)(х + 1) = 0 имеет три действительных корня: -1, 0 и 1. Соответственно график функции у = х (х – 1)(х + 1) пересекает ось абсцисс в трех точках.

Под знаком квадратного корня появилось отрицательное число. Такое бывает и при решении квадратных уравнений. Но квадратное уравнение в этом случае не имеет действительных корней, а у кубического их целых три!

Более тщательный анализ показывает, что мы попали в эту ловушку не случайно. Уравнение х3 + px + q = 0 имеет три действительных корня тогда и только тогда, когда выражение Δ = (q/2)2 + (p/3)3 под квадратным корнем в формуле Кардано отрицательно. Если Δ > 0, то действительный корень один (рис. 3, б), а если Δ = 0, то их два (один из них – двукратный), за исключением случая p = q = 0, когда все три корня сливаются.

у Δ 0 у = -pх - q у = х3

0 х 0 х у = -pх - q у = х3 а) б)

Рис. 3 Кубическое уравнение х3 + px + q = 0 можно представить в виде х3 = -px – q. Отсюда видно, что корням уравнения будут соответствовать абсциссы точек пересечения двух графиков: у = х3 и у = -px – q. Если Δ 0 – один.

1. 4 Теорема Виета

Теорема Виета. Если целое рациональное уравнение степени n, приведенное к стандартному виду, имеет n различных действительных корней х1, х2,. хn, то они удовлетворяют равенствам: х1 + х2 + + хn = - а1 , а0 х1х2 + х1х3 + + хn-1хn = а2 а0 х1 · х2 · · хn = (-1)nаn.

Для корней уравнения третьей степени а0х3 + а1х2 + а2х + а3 = 0, где а0 ≠ 0 справедливы равенства х1 + х2 + х3 = - а1, а0 х1х2 + х1х3 + х2х3 = а2, а0 х1х2х3 = - а3.

1. 5 Теорема Безу. Схема Горнера

Решение уравнений тесно связано с разложением многочленов на множители. Поэтому при решении уравнений важно все, что связано с выделением в многочлене линейных множителей, т. е. с делением многочлена А(х) на двучлен х – α. Основой многих знаний о делении многочлена А(х) на двучлен х – α, является теорема, принадлежащая французскому математику Этьену Безу (1730-1783 гг.) и носящая его имя.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена А(х) на двучлен х – α равен А(α) (т. е. значению многочлена А(х) при х = α).

Найдем остаток от деления многочлена А(х) = х4 – 6х3 + 8 на х + 2.

Решение. По теореме Безу остаток от деления на х + 2 равен А(-2) = (-2)4 – 6(-2)3 + 8 = 72.

Удобный способ нахождения значений многочлена при заданном значении переменной х ввел английский математик Вильямс Джордж Горнер (1786-1837 гг.). Этот способ впоследствии получил название схемы Горнера. Он состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк. Например, чтобы вычислить А(-2) в предыдущем примере, в верхней строке таблицы перечисляем коэффициенты данного многочлена, записанного в стандартной форме х4 – 6х3 + 8 = х4 + (-6)х3 + 0 · х2 + 0 · х + 8.

Коэффициент при старшей степени дублируем в нижней строке, а перед ним записываем значение переменной х = -2, при котором вычисляется значение многочлена. Получается следующая таблица:

Пустые клетки таблицы заполняем по следующему правилу: крайнее справа число нижней строки умножается на -2 и складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. По этому правилу в первой пустой клетке стоит число (-2) · 1 + (-6) = -8, во второй клетке ставится число (-2) · (-8) + 0 = 16, в третьей клетке – число (-2) · 16 + 0 = - 32, в последней клетке – число (-2) · (-32) + 8 = 72. Полностью заполненная по схеме Горнера таблица выглядит так:

2 1 -8 16 -32 72

Число в последней клетке и есть остаток от деления многочлена на х + 2, А(-2) = 72.

На самом деле из полученной таблицы, заполненной по схеме Горнера, можно записать не только остаток, но и неполное частное

Q(x) = x3 – 8x2 + 16x – 32, так как число, стоящее на второй строке (не считая с последнего), - это коэффициенты многочлена Q(x) – неполного частного от деления на х + 2.

Решим уравнение х3 – 2х2 – 5х + 6 = 0

Выпишем все делители свободного члена уравнения: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

х = 1, х = -2, х = 3

Ответ: х = 1, х = -2, х = 3

2. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулирую основные выводы о проделанной работе.

В процессе работы я познакомился с историей развития проблемы решения уравнения третьей степени. Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что осознанно занимает место формулы Кардано в решении некоторых уравнений третьей степени. Я убедился в том, что формула решения уравнения третьей степени существует, но из-за её громоздкости она не популярна и не очень надежна, так как не всегда достигает конечного результата.

В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы: как узнать заранее, какие корни имеет уравнение третьей степени; можно ли кубическое уравнение решить графическим способом, если можно, то как; как оценить приближенно корни кубического уравнения?

Уравнение третьей степени с комплексными коэффициентами имеет вид:

Подвергнем (1) упрощению – сделаем член с квадратом неизвестного равным нулю, для чего положим и найдем .

Таким образом, сделав в (1) подстановку , получим неполное кубическое уравнение:

Чтобы найти корни уравнения (2), положим , где u и v – два новых вспомогательных неизвестных. (2) запишем в виде:

раскрыв скобки и перегруппировав члены, получим:

Потребуем, чтобы или . Это требование всегда выполнимо, т.к. оно вместе с условием означает, что u и v являются корнями квадратного уравнения.

Тогда уравнение (2) приведется к уравнениям:

Отсюда согласно формулам Виета являются корнями квадратного уравнения:

Итак, неполное уравнение (2) решено в радикалах:

(3) – формула Кардана.

Формула Кардана состоит из суммы двух кубических радикалов. Каждый из них имеет три значения. Комбинируя значения u и v , получим девять сумм u+ v ,но среди них только три корня уравнения (2). Это будут те суммы u+ v, у которых u и v связаны соотношением:

Обозначим через , какую-нибудь пару значений , удовлетворяющих (4), а через - один из первообразных корней третьей степени из единицы. Например: .

Тогда , . Найдем . Так как и , то

Откуда

Откуда .

Таким образом, получим все значения корней неполного кубического уравнения (2):

Учитывая, что , , имеем: (5)

Пример. Определить по формуле Кардана корни уравнения:

Обозначим - выражение стоящее под знаком квадратного радикала в формуле Кардана.

Предложение Если , то уравнение (2) имеет три различных корня.

Покажем, что , , , где - первообразный корень третьей степени из 1.

Пусть , , . Возведя обе части равенства в куб получим: , т.е. квадратное уравнение имеет два равных корня: , что невозможно, т.к. дискриминант этого квадратного уравнения . Тогда из формул (5) , т.к. при . Если бы , то , т.е.

Что при невозможно.

Аналогично обнаруживается, что .

Если при и , то

Так как ,то . Следовательно .

Откуда одно из значений : . Соответствующее значение :

Обращаясь к формулам (5) получим:

Предложение: При ( и ) уравнение (2) имеет два равных корня: , и в этом случае корни (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степеней, а именно: , (6)

Пример: Решить уравнение: .

УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Пусть (7) – неполное кубическое уравнение третьей степени с действительными коэффициентами и .

Теорема: Если , то уравнение (7) имеет один действительный и два мнимых сопряженных корня;

если , то корни уравнения (7) действительны и хотя бы один из них кратный;

если , то то все корни (7) действительны и различны.

1. . Так как , то все три корня уравнения (7) должны быть различными.

Рассмотрим выражение .

Так как , то - действительное число. Следовательно, одно из значений и должно быть действительным. Пусть , тогда . На основании (5) уравнение (7) имеет только один действительный корень: , а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами:

2. . При , , уравнение имеет два равных корня. Так как (7) уравнение с действительными коэффициентами, то при , , все три корня уравнения действительны, причем два из них равны.

При , , уравнение (7) имеет три равных нулю корня: .

3. (неприводимый случай). Так как , то , где . Тогда . Найдем модуль и аргумент подкоренного выражения:

Полагая получим:

Произведение комплексного числа на сопряженное равно квадрату модуля :

Т.е. , но . Значит . Тогда

Тогда корни (7) имеют вид:

Итак, в случае уравнение (7) имеет три действительных корня.

Недостаток формулы Кардана состоит в том, что она часто представляет рациональные корни в иррациональном виде.

Пример. Очевидно - действительный корень.

(один действительный и два сопряженных мнимых корня)

По формуле Кардана: - иррациональные числа

При приближенных вычислениях , . Вследствие этого недостатка рациональные корни кубического уравнения с рациональными коэффициентами определяют не по формуле Кардана.

УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ.

Пусть (1) –

Уравнение четвертой степени с комплексными коэффициентами. Наиболее ранний способ решения (1) принадлежит Феррари ученику Кардана.

Подберем вспомогательное неизвестное так, чтобы правая часть (2) превратилась в полный квадрат. Что возможно при условии, что , где , , . Если , сравнивая коэффициенты при : , , , откуда . Обратно, если , то .

Подставляя в равенство выражения А, В,С, находим, что .

(3)- кубическая резольвента.

Пусть - какой-нибудь корень уравнения (3). Подставляя в (2) в правой части получим полный квадрат:

Эти два квадратных уравнения дадут все четыре корня уравнения (1). Итак, решение уравнения четвертой степени сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени, и так же решается в радикалах. При нахождении корней уравнения типа (1) по способу Феррари проводят последовательно все преобразования, не запоминая кубическую резольвенту.

Пример.

- (члены степени не больше двух), оставляя

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения - для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.

Шаги

Как решить кубическое уравнение без свободного члена

Выясните, есть ли в кубическом уравнении свободный член d {\displaystyle d} . Кубическое уравнение имеет вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} . Чтобы уравнение считалось кубическим, достаточно, чтобы в нем присутствовал только член x 3 {\displaystyle x^{3}} (то есть других членов может вообще не быть).

Вынесите за скобки x {\displaystyle x} . Так как в уравнении нет свободного члена, каждый член уравнения включает переменную x {\displaystyle x} . Это означает, что один x {\displaystyle x} можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение запишется так: x (a x 2 + b x + c) {\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)} .

Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} можно разложить на множители . Такое уравнение получится, если вынести x {\displaystyle x} за скобки. В нашем примере:

Решите квадратное уравнение с помощью специальной формулы. Сделайте это, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители. Чтобы найти два корня уравнения, значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} подставьте в формулу .

• В нашем примере подставьте значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ( 3 {\displaystyle 3} , − 2 {\displaystyle -2} , 14 {\displaystyle 14} ) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) {\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2 ± 4 − (12) (14) 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2 ± (4 − 168 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2 ± − 164 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
• Первый корень: 2 + − 164 6 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2 + 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2+12,8i}{6}}}
• Второй корень: 2 − 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2-12,8i}{6}}}

1. Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических - три. Два решения вы уже нашли - это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет .

   Как найти целые корни с помощью множителей

   1. Удостоверьтесь, что в кубическом уравнении есть свободный член d {\displaystyle d} . Если в уравнении вида a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} есть свободный член d {\displaystyle d} (который не равен нулю), вынести «х» за скобки не получится. В данном случае воспользуйтесь методом, изложенным в этом разделе.

      Выпишите множители коэффициента a {\displaystyle a} и свободного члена d {\displaystyle d} . То есть найдите множители числа при x 3 {\displaystyle x^{3}} и числа перед знаком равенства. Напомним, что множителями числа являются числа, при перемножении которых получается это число.

      Разделите каждый множитель a {\displaystyle a} на каждый множитель d {\displaystyle d} . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел.

      • В нашем примере разделите множители a {\displaystyle a} (1 и 2 ) на множители d {\displaystyle d} (1 , 2 , 3 и 6 ). Вы получите: 1 {\displaystyle 1} , , , , 2 {\displaystyle 2} и . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: 1 {\displaystyle 1} , − 1 {\displaystyle -1} , 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} , − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} , 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{6}}} , 2 {\displaystyle 2} , − 2 {\displaystyle -2} , 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} и − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.

   2. Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение 1 {\displaystyle 1} :

      Воспользуйтесь методом деления многочленов по схеме Горнера , чтобы быстрее найти корни уравнения. Сделайте это, если не хотите вручную подставлять числа в уравнение. В схеме Горнера целые числа делятся на значения коэффициентов уравнения a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} и d {\displaystyle d} . Если числа делятся нацело (то есть остаток равен ), целое число является корнем уравнения.

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

П.Л. Чебышев, величайшийрусский математик и механик, основоположник петербургской математической школы, уроженец Калужской губернии, писал в статье «О втором томе «Истории» Полевого» о людях, способных угадать и схватить суть явлений:

«Ум человеческий, по простонародному выражению, не пророк, а угадчик, он видит общий ход вещей и может выводить из оного глубокие предположения, часто оправданные временем…».

В 1838 году, участвуя в студенческом конкурсе, П.Л. Чебышев получил серебряную медаль за работу по нахождению корнейуравнения n-ной степени. Оригинальная работа была закончена уже в 1838 году и сделана на основеалгоритма Ньютона.

Гипотеза: решение неполного уравнения третьей степени, корни которого не являются целыми, решается с помощью формулы П.Л. Чебышева рациональным способом.

Цель исследования: решить неполное уравнение третьей степени с помощью нескольких способов и определить наиболее рациональный из них.

Задачи исследования:

Ознакомиться с определением производной первого и второго порядка;

Научиться строить графики функций-многочленов третьей степени;

Применить к решению неполногоуравнения третьей степени формулу П.Л. Чебышева;

Применить к решению неполногоуравнения третьей степени известные способы;

Применить алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня;

Из полученных способов решения выбрать наиболее рациональный.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Производная функции

Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции - такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении ее аргумента к данной точке.

Производная функции — понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Определение производной функции через предел.

Пусть в некоторой окрестности точки {displaystyle x_{0}in mathbb {R} } определена функция {displaystyle fcolon U(x_{0})subset mathbb {R} to mathbb {R} .} .Производной функции {displaystyle f} f в точке {displaystyle x_{0}} называется предел, если он существует,

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной.

Формула П.Л. Чебышева

Способы решения алгебраических уравнений высших степеней

Уравнения третьей (и выше) степеней могут быть решены способами:

Графическим, который становится тем сложнее, чем степень многочлена выше, так как график построить иногда труднее, чем найти соответствующие корни;

Оперативным, часто приближенный, но дающий возможность находить корни с большой точностью. Графический способ при оперативном способе является подсобным.

Теорема 1. Если имеется целый корень многочлена с целыми коэффициентами, когда при старшем члене коэффициент единица, то он является делителем свободного члена.

Теорема 2. Всякий многочлен нечетной степени на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень.

Номограммы

Номограмма (греч.νομοσ — закон) — графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул. Номография (от греч. nómos — закон и...графия), раздел математики, объединяющий теорию и практические методы построения номограмм - специальных чертежей, являющихся изображениями функциональных зависимостей. Особенность номограмм заключается в том, что каждый чертеж изображает заданную область изменения переменных и каждое из значений переменных в этой области изображено на номограмме определенным геометрическим элементом (точкой или линией); изображения значения переменных, связанных функциональной зависимостью, находятся на номограмме в определенном соответствии, общем для номограмм одного и того же типа.

Номограммы для решения уравнений. Для решения уравнений х α + р 0 х ß + q 0 = 0 используют номограммы из выравненных точек. Получить такую номограмму можно так: Нарисуем две вертикальные параллельные прямые - ось р с началом отсчётаА и ось q с началом отсчёта В (Рис. 1); на этом рисунке отрезок АВ перпендикулярен осям p,q , но это вовсе необязательно).

Возьмём произвольные числа α, ß и положительное число а . На оси р возьмём точку С с координатой -а α-ß на оси р - точку D с координатой -а α . Пусть AD ∩BC =E . Проведём через Е произвольную прямую, не параллельную осям р , q . Обозначим координату пересечения М это прямой с осью р через р 0 , пересечения N с осью q - через q . Тогда а α + р 0 α ß + q 0 = 0 (1), т.е. число а является корнем уравнения х α + р 0 х ß + q 0 = 0 (2). Прямая MN может пересекаться с осями р , q одним из трёх способов: р 0 < 0, q 0 > 0 (рис.1); р 0 > 0, q 0 < 0 (рис. 2); р 0 < 0, q 0 < 0 (рис.3).

Рис. 2 Рис. 3

Докажем равенство (1) для случая, изображённого на рис. 1 (остальные два случая рассматриваются аналогично). Из подобия треугольников AEC и BED имеем

что и даёт (1). Зафиксируем произвольные α, ß и рассмотрим всевозможные уравнения х α + рх ß + q = 0 . Номограмма для отыскания положительных корней таких уравнений рисуется следующим образом: 1) параметру а придаются разные положительные значения и для каждого из них строится точкаЕ так, как рассказано выше; 2) полученные точки, помеченные соответствующими значениями параметра, соединяются плавной кривой Г (рис.4).

Теперь при помощи этой номограммы приближённо можно найти положительные корни конкретного уравнения х α + р 0 х ß + q 0 = 0, для этого надо на оси р взять точку M с координатой р 0 , на оси q - точку N с координатой q 0 и провести прямую MN . Каждая точка пересечения прямой MN с кривой Г даёт, в силу (1), положительный корень уравнения (2). Точки, соответствующие коэффициентам p, q уравнения, и точки, соответствующие искомым положительным корням уравнения х α + рх ß + q =0, лежат на одной прямой.

Алгоритм уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня

Теорема. Зная два приближенных значения и многочлена, можно получать улучшенные приближенные значения по рекуррентной формуле:

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ

Пример решения уравнения третьей степени

Пусть дано уравнение

Решение 1.

Так как левая часть уравнения-многочлен третьей (нечетной) степени, то на множестве действительных чисел имеет по крайней мере один действительный корень, т.е. эти числа являются делителями свободного члена 1.

Имеем 1 3 -5 1+1=-3 и значит, целых корней нет.

Может быть, рациональный корень? Нет, так как многочлен с коэффициентом при старшем члене 1 не имеет и целых корней.

Значит, предположение неверное - корень иррациональный, найдем его приближенно, установив интервал, в котором он находится.

Составим таблицу 1, давая значения переменной х и вычисляя значения функции у :

Таблица 1

Уже найден интервал, имеем корень отрицательный, заключенный в границах:

Второй интервал, имеем корень положительный, заключенный в границах

Третий интервал, имеем положительный корень, заключенный в границах

Больше находить корни не следует, так как уравнение третьей степени не может иметь более трех корней.

Функция непрерывна на R и дифференцируема на R .

График функции пересекает ось Оу в точке.

Производная функции равна

Критические точки 1 рода:

Исследуем функцию на монотонность:

Применили формулу Бернулли для вычисления приближенного значения

Дадим графическое изображение функции, (Рис. 6) которое несколько уточняет значение иррациональных корней, давая рациональные приближения:

Решение 2.

Преобразуем исходное уравнение к виду:

Решим это уравнение графическим способом.

Введем две функции:

Построим графики данных указанных функций (Рис. 7):

Решение 3.

Применим формулу П.Л. Чебышева

Используем график функции (Рис. 6)

Видно, что один из корней уравнения расположен близко к

Найдём производные первого и второго порядка данной функции:

Произведем вычисления:

Применим формулу:

Остальные корни проще найти, используя свойства многочленов:

1). Если корень многочлена, то делится на.

2). При делении многочлена на получается остаток, равный значению этого многочлена при.

3). Схемой Горнера, где (Таблица 2):

Таблица 2

Получили остаток деления 0,008 .

Делитель приравниваем к нулю:

Ответ: -2,33; 0,2; 2,13.

Решение 4.

Решим данное уравнение при помощи этой номограммы (Рис. 8), выполнив соответствующие расчёты:

Построим отрезок. Он пересечет полученный график в точках с координатами.

Для получения третьего корня изменим знак х на -х , получаем

Найдем отрицательный корень уравнения, построив отрезок, он пересекает график функции в точке.

Ответ: -2,3; 0,25; 2,2.

Проверим полученные корни с помощью Интернет ресурсов: сайта

Решение уравнений бесплатно - Калькулятор Онлайн Обычные уравнения

Ответы продемонстрированы на Рис. 9 и Рис. 10:

Ответ: 0,2; 2,13; -2,33.

Уточним один из корней многочлена, полученные в Решении 4 с помощью алгоритма уточнения корней многочлена, если известны грубо приближенно два значения его корня.

Возьмём, .

Можно продолжить уточнение приближенного значения корня. Примем за приближенного значения корня число.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализируем использованные способы решения уравнения (Таблица 3):

Таблица 3

Итак, наиболее рациональным оказался способ с применением формулы Чебышева.

Из анкетирования, проведенного в 11 классе, было выяснено, что формула Чебышева и номограммама - это понятия, незнакомые выпускникам, учащимся физико-математического профиля. Оценивание корней уравнения с помощью таблицы с применением свойстванепрерывности функции оказалось новым для 80% учащихся.

Таким образом, умение решать неполное алгебраическое уравнение, имеющего нерациональные корни, является актуальным и, как показала практика, проблематичным.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Предел функции —Режим доступа: Википедия ru.wikipedia.org(дата обращения 20.07.2018)

Производная функции — Режим доступа:Википедияru.wikipedia.org(дата обращения 20.07.2018)

2. Урок-игра "Победитель простых чисел - П.Л. Чебышёв...- Режим доступа: открытыйурок.рф(дата обращения 21.07.2018)
3. Акири И., Гарит В. И др. Математика. Учебник для 11 класса - Кишинев.:PrutInternatijnal, 2004, 120-121 с.

И.Клумова «Номограммы из выравненных точек». Научно-популярный журнал «Квант», №9 1978г.

Решение уравнений бесплатно - Калькулятор Онлайн Обычные уравненияУпрощение выражений - Режим доступа: kontrolnaya-rabota.ru(дата обращения 19.07.2018)

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Основные понятия и определения

1.3 Формула Кардано

2. Решение задач

Заключение

Введение

Уравнения. Можно утверждать наверняка, что не найдется ни одного человека, который бы не был знаком с ними. Дети сызмала начинают решать «задачи с иксом». Дальше - больше. Правда, для многих знакомство с уравнениями и заканчивается школьными делами. Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида

a0xn + a1xn - 1 + … + an = 0

ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что а0 ¹ 0, так как иначе степень уравнения на самом деле не n, а меньше). Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи - в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел! Только в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше - найти формулы для n = 3 и 4. История их открытий и даже авторство найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела.

Цель работы - исследовать различные методы решения уравнений третьей степени.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

-Анализ научной литературы;

-Анализ школьных учебников;

-Подбор примеров для решения;

-Решение уравнений различными методами.

Работа состоит из двух частей. В первой рассматриваются различные методы решения уравнений. Вторая часть посвящена решению уравнений различными способами.

1. Теоретическая часть

1 Основные понятия и определения

Кубическое уравнение - это уравнение третьей степени вида:

Число x, обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение всегда имеет 3 корня (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпывается тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

Итак, возможны только три случая:

Если? > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.

Если? < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Если? = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть, когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо, все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант так же равен нулю.

Корни кубического уравнения связаны с коэффициентами следующим образом:

1.2 Методы решения кубических уравнений

Наиболее распространенный метод решения кубических уравнений - метод перебора.

Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень.

Вторая стадия решения - это деление многочлена на двучлен x - x1. Согласно теореме Безу это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет) оставшиеся два корня.

Решение двучленного кубического уравнения

Двучленное кубическое уравнение имеет вид (2)

Это уравнение приводится к виду делением на коэффициент A, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:

Из первой скобки находим, а квадратный трехчлен имеет лишь комплексные корни.

Возвратные кубические уравнения

Возвратное кубическое уравнение имеет вид и B -коэффициенты.

Проведем группировку:

Очевидно, что x=-1 является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена легко находятся через дискриминант.

1.3 Формула Кардано

В общем случае, корни кубического уравнения находятся по формуле Кардано.

Для кубического уравнения (1) находятся значения с помощью подстановки: x= (2), и уравнение приводится к виду:

неполное кубическое уравнение, в котором будет отсутствовать слагаемое содержащее вторую степень.

Считаем, что уравнение имеет коэффициентами комплексные числа. Данное уравнение, всегда будет иметь комплексные корни.

Обозначим один из таких корней: . Введем вспомогательную неизвестную u и рассмотрим многочлен f(u)=.

Обозначим корни этого многочлена через? и?, по теореме Виетта (см. стр. 8):

Подставим в уравнение (3), выражение (4), получаем:

C другой стороны из (5): (7)

Отсюда следует, т.е из формул (6), (7), что числа являются корнями уравнения:

Из последнего уравнения:

Два других корня, находятся по формуле:

1.4 Тригонометрическая формула Виета

Эта формула находит решения приведенного кубического уравнения, то есть уравнения вида

Очевидно, что любое кубическое уравнение можно привести к уравнению вида (4), просто поделив его на коэффициент a. Итак, алгоритм применения этой формулы:

Вычисляем

2. Вычисляем

3. а) Если, то вычисляем

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

б) Если, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Вычисляем

Тогда единственный корень(вещественный):

Мнимые корни:

В) Если, то уравнение имеет меньше трех различных решений:

2. Решение задач

Пример 1. Найти действительные корни кубического уравнения

Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:

Из первой скобки находим, квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

является корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена

Пример 3. Найти корни кубического уравнения

Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на обе части и проведем замену переменной.

Свободный член равен 36. Запишем все его делители:

Подставляем их по очереди в равенство до получения тождества:

Таким образом, является корнем. Ему соответствует

Разделим на, используя схему Горнера.

Коэффициенты многочлена2-11129-0.52-11+2*(-0.5)=-1212-12*(-0.5)=189+18*(-0.5)=0

Получаем

Найдем корни квадратного трехчлена:

Очевидно, что, то есть его кратным корнем является.

Пример 4.Найти действительные корни уравнения

является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена.

Так как дискриминант меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Пример 5. Найти корни кубического уравнения 2.

Следовательно,

Подставляем в формулу Кардано:

принимает три значения. Запишем их.

При имеем

При имеем

При имеем

Разобьем эти значения по парам, которые в произведении дают

Первая пара значений и

Вторая пара значений и

Третья пара значений и

Возвращаемся к формуле Кардано

Таким образом,

Заключение

кубический уравнение трехчлен

В результате выполнения курсовой работы были исследованы различные методы решения уравнений третьей степени, такие, как метод перебора, формула Карано, формула Виета, методы решения возвратных, двучленных уравнений.

Список использованных источников

1)Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов», М., 1986.

2)Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9-го класса средней школы, 1977.

)Омельченко В.П. Математика: учебное пособие / В.П. Омельченко, Э.В.Курбатова. - Ростов н/Д.: Феникс, 2005.- 380с.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.