Определение бесконечно большой последовательности. Бесконечно удаленные точки и их свойства

Определение
Последовательность { β n } называется бесконечно большой последовательностью , если для любого, сколь угодно большого числа M , существует такое натуральное число N M , зависящее от M , что для всех натуральных n > N M выполняется неравенство
|β n | > M .
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности, или сходится к бесконечности .

Если , начиная с некоторого номера N 0 , то
( сходится к плюс бесконечности ).
Если же , то
( сходится к минус бесконечности ).

Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности:
(1) .
(2) .
(3) .

Последовательности с пределами (2) и (3) являются частными случаями бесконечно большой последовательности (1). Из этих определений следует, что если предел последовательности равен плюс или минус бесконечности, то он также равен и бесконечности:
.
Обратное, естественно, не верно. Члены последовательности могут иметь чередующиеся знаки. При этом предел может равняться бесконечности, но без определенного знака.

Заметим также, что если какое-то свойство выполняется для произвольной последовательности с пределом равным бесконечности, то это же свойство выполняется и для последовательности, чей предел равен плюс или минус бесконечности.

Во многих учебниках по математическому анализу, в определении бесконечно большой последовательности указывается, что число M является положительным: M > 0 . Однако это требование является лишним. Если его отменить, то никаких противоречий не возникает. Просто малые или отрицательные значения для нас не представляют никакого интереса. Нас интересует поведение последовательности при сколь угодно больших положительных значениях M . Поэтому, если возникнет необходимость, то M можно ограничить снизу любым, наперед заданным числом a , то есть считать, что M > a .

Когда же мы определяли ε - окрестность конечной точки, то требование ε > 0 является важным. При отрицательных значениях, неравенство вообще не может выполняться.

Окрестности бесконечно удаленных точек

Когда мы рассматривали конечные пределы, то ввели понятие окрестности точки. Напомним, что окрестностью конечной точки является открытый интервал, содержащий эту точку. Также мы можем ввести понятия окрестностей бесконечно удаленных точек.

Пусть M - произвольное число.
Окрестностью точки "бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "плюс бесконечность" , , называется множество .
Окрестностью точки "минус бесконечность" , , называется множество .

Строго говоря, окрестностью точки "бесконечность" является множество
(4) ,
где M 1 и M 2 - произвольные положительные числа. Мы будем использовать первое определение, , поскольку оно проще. Хотя, все сказанное ниже, также справедливо и при использовании определения (4).

Теперь мы можем дать единое определение предела последовательности, которое относится как к конечным, так и к бесконечным пределам.

Универсальное определение предела последовательности .
Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любой окрестности этой точки существует такое натуральное число N , что все элементы последовательности с номерами принадлежат этой окрестности.

Таким образом, если предел существует, то за пределами окрестности точки a может находиться только конечное число членов последовательности, или пустое множество. Это условие является необходимым и достаточным. Доказательство этого свойства, точно такое, как для конечных пределов.

Свойство окрестности сходящейся последовательности
Для того, чтобы точка a (конечная или бесконечно удаленная) являлась пределом последовательности , необходимо и достаточно, чтобы за пределами любой окрестности этой точки находилось конечное число членов последовательности или пустое множество.
Доказательство .

Также иногда вводят понятия ε - окрестностей бесконечно удаленных точек.
Напомним, что ε - окрестностью конечной точки a называется множество .
Введем следующее обозначение. Пусть обозначает ε - окрестность точки a . Тогда для конечной точки,
.
Для бесконечно удаленных точек:
;
;
.
Используя понятия ε - окрестностей, можно дать еще одно универсальное определение предела последовательности:

Точка a (конечная или бесконечно удаленная) является пределом последовательности , если для любого положительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , зависящее от ε , что для всех номеров n > N ε члены x n принадлежат ε - окрестности точки a :
.

С помощью логических символов существования и всеобщности, это определение запишется так:
.

Примеры бесконечно больших последовательностей

Сначала мы рассмотрим три простых похожих примера, а затем решим более сложный.

Пример 1

.

.
Выпишем определение бесконечно большой последовательности:
(1) .
В нашем случае
.

Вводим числа и , связав их неравенствами:
.
По свойствам неравенств , если и , то
.
Заметим, что при это неравенство выполняется для любых n . Поэтому можно выбрать и так:
при ;
при .

Итак, для любого можно найти натуральное число , удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что . То есть последовательность является бесконечно большой.

Пример 2

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

(2) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
.

Тогда для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , так что для всех ,
.
Это означает, что .

.

Пример 3

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем определение предела последовательности, равному минус бесконечности:
(3) .
Общий член заданной последовательности имеет вид:
.

Вводим числа и :
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Поскольку для любого можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству , то
.

При заданном , в качестве N можно взять любое натуральное число, удовлетворяющее следующему неравенству:
.

Пример 4

Пользуясь определением бесконечно большой последовательности показать, что
.

Выпишем общий член последовательности:
.
Выпишем определение предела последовательности, равному плюс бесконечности:
(2) .

Поскольку n есть натуральное число, n = 1, 2, 3, ... , то
;
;
.

Вводим числа и M , связав их неравенствами:
.
Отсюда видно, что если и , то
.

Итак, для любого числа M можно найти натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Тогда для всех ,
.
Это означает, что .

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Я разбита. Причина – его любовь. Набираю забитый на скорый вызов телефон и внимательно вслушиваюсь в гудки, что бы узнать о месте нахождения своего парня. Мне двадцать пять, мне нужен муж, на худой раз человек с которым я бы могла чувствовать себя уверенно, а не шатко как на плоту. Долгие размеренные звуки и я вновь сквозь пластик ощущаю удушающее чувство, он не отвечает, он забывает сам себя, забывает, что есть я помимо алкоголя и вечеринок. Долгое опьяняющее чувство счастья длилось ровно год, вынос адреналина, который копился столько лет, пара милых свиданий с цветочками и все – я его. Как мне казалось, я попала в сказку, ведь где видано, сам Игорь Соколовский, сын известного и влиятельного человека в Москве, так просто решил закадрить простушку вроде меня.

Все и правда было сказкой, не отрицаю, только игра не стоила свеч, не стоила пролитых слез и боли по ночам когда рядом лишь холодная подушка, а в тумбе валяются чужие трусики, он даже не заметил как его подружка оставила свое белье едва ли не у меня под носом, пытаясь пометить свою территорию. Что ж у нее получилось, я сломалась, внутри я уже готова расплакаться и собрать вещи. Только жалость удерживает меня, любовь и жалость, вещи вроде не составные счастья, но слишком влияющие на отношения, я осталась, думая, что все измениться, веря и черт возьми надеясь, только на лучшее.
Лучшее было сейчас там, в клубе или баре, где есть все, от алкоголя, заканчивая проститутками, где музыка составляет основную часть жизни, и мне оставалось лишь смириться, оставить все это и шагать дальше. Шагать за ним, хватаясь на его рукав рубашки, выдирая из себя остатки гордости и смелости – я разбита, а причиной есть его любовь.

Звонок, мерзкий голос по ту сторону двери, глупая надежда на отлично проведенный совместный вечер буквально за пару секунд превратилась в прах. Это был он, это его мерзкие руки ударяли об дверь с силой, заставляя мое сердце замереть. Я боялась, боялась, что он сойдет с ума, что он больше нечего не чувствует, что я всего лишь человек для него, глупый, влюбленный. Накинув наспех кофту, я трясущимися руками открыла дверь, оставляя цепочку на месте – так безопаснее. Он выглядел еще хуже чем я представляла себе – костяшки сбиты, руки в царапинах, синяки украшали большую половину лица, ужасающее зрелище представляла собой губа – уголки были в крови, слегка опухшая кожа. У меня не оставалось сомнений в причине драки – от него несло перегаром, как говорят «за версту».

Прости, Вик, больше не повториться. – Каждый раз приходя домой в состоянии полной эйфории он повторял эту фразу, я даже не задумывалась о том, правильно ли он ее понимает, понятие «больше» для него значит тоже, что и для меня? Я, не понимая, что делать, щелкаю замком и уже широко открываю входную дверь, мне не важно какой он, вернулся, главное, что он здесь.

Я уже успела забыть как ты выглядишь. Ты пропал утром. – Стараюсь не кричать, держу в себе, не высказываюсь о утреннем звонке на мой мобильной его любовницы, или не любовницы – усталость, вот что я чувствую сейчас. На часах чуть больше двух ночи, а я вместо постели вглядываюсь в глаза Игорь ища ответ на собственный вопрос – любит ли он меня, значу ли я хоть что-то для него?

Прости детка, были дела, - икая сваливается на меня, и я пронзительно охаю ощущая тяжесть тела. Он слишком непосильная ноша для меня и я вскрикиваю делая шаг, а потом больно падаю вместе с ним на ковер. – Черт.

Он медленно поднимается и перешагивает идет дальше едва ступая на поверхность пола, все еще слабо контролируя свои движения. Он просто перешагивает не замечая меня, прямо сейчас он доказывает мои предположения – он просто прошел мимо в наших отношениях. Сыграл лишь одну роль – сказал о любви, обеспечил материально и в том появляются сомнения – не из папиного ли кармана? Обхватываю голову руками, это не может продолжаться так долго, я не смогла бы выдержать так долго. Боже.
Слышу звук в ванной, решился все же принять душ. Мне бы тоже не мешало отпустить свое состояние полной апатии и привести себя в порядок, я же женщина. Ты тряпка, раз позволяешь такое отношение к себе – кричит мое подсознание и я понимаю, что это правда. Что мир совсем другой, он не имеет ограничений в четырех стенах он полностью развит, там есть люди, там есть жизнь. Здесь, в этом доме, жизнь давно уже превратилась в радиоактивный воздух, который заставляет умирать постепенно, убивать частичку себя, счастье исчезать, а гордость вовсе испаряться из легких.

А где полотенце?

У меня дико болит голова, все, что я ощущаю помимо пушистого комка на груди и одеяла в ногах. Я не ощущаю Игоря, даже не пытаюсь угадывать о его местонахождении. Пошел искупать вину перед матерью с помощью алкоголя, так он понимает слово «потеря» так я понимаю слово «конец», это именно он. Едва поднимаюсь с кровати – наталкиваюсь на совместное фото и записку рядом, неужели пожелание доброго утра?

Я ушел. Навсегда. Так будет лучше, устал я от тебя, от твоего вечного нытья, от вопросов, которые не стоило задавать, зная ты ответ. Ты слишком глупа. Прощай.
Игорь.

Определение. Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости называетсяизолированной особой точкой однозначной аналитической функцииf (z ), есливне круга некоторого радиуса R ,

т.е. при , нет ни одной конечной особой точки функцииf (z ).

Для исследования функции в бесконечно удаленной точке сделаем замену
Функция

будет иметь особенность в точкеζ = 0, причем эта точка будет изолированной, так как

внутри круга
других особых точек по условию нет. Являясь аналитической в этом

круге (за исключением т. ζ = 0), функция
может быть разложена в ряд Лорана по степенямζ . Классификация, описанная в предыдущем параграфе полностью сохраняется.

Однако, если вернуться к исходной переменной z , то ряды по положительным и отрицательным степенямz ‘поменяются’ местами. Т.е. классификация бесконечно удаленных точек будет выглядеть следующим образом:

Примеры. 1.
. Точкаz = i − полюс 3-го порядка.

2.
. Точкаz = ∞ − существенно особая точка.

§18. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке.

Пусть точка z 0 является изолированной особой точкой однозначной аналитической функции

f (z ) . Согласно предыдущему, в окрестности этой точкиf (z ) может быть представлена единственным образом рядом Лорана:
где

Определение. Вычетом аналитической функцииf (z ) в изолированной особой точкеz 0

называется комплексное число, равное значению интеграла
, взятому в положительном направлении по любому замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности функции и содержащему внутри себя единственную особую точкуz 0 .

Вычет обозначается символом Res [f (z ),z 0 ].

Нетрудно видеть, что вычет в правильной или устранимой особой точке равен нулю.

В полюсе или существенно особой точке вычет равен коэффициенту с -1 ряда Лорана:

.

Пример. Найти вычет функции
.

{Пусть Легко видеть, что

коэффициент с -1 получится при умножении слагаемых приn = 0:Res[f (z ),i ] =
}

Часто удается вычислять вычеты функций более простым способом. Пусть функция f (z ) имеет в т.z 0 полюс первого порядка. В этом случае разложение функции в ряд Лорана имеет вид (§16):. Умножим это равенство на (z−z 0) и перейдем к пределу при
. В результате получим:Res[f (z ),z 0 ] =
Так, в

последнем примере имеем Res[f (z ),i ] =
.

Для вычисления вычетов в полюсах более высокого порядка следует умножить функцию

на
(m − порядок полюса) и продифференцировать полученный ряд (m − 1) раз.

В этом случае имеем: Res[f (z ),z 0 ]

Пример. Найти вычет функции
в т.z= −1.

{Res[f (z ), −1] }

Прежде всего отметим, что проективная плоскость в отличие от евклидовой плоскости не имеет бесконечной протяженности. Давайте выясним, в чем же различие между ними, а с другой стороны, как они между собой связаны? Для этого давайте уточним, какие положения евклидовой плоскости используются в проективной геометрии. В основе проективной геометрии лежит своя система аксиом. И хотя логические построения на аксиоматическом фундаменте являются замечательной иллюстрацией математического метода, однако, будучи при этом оторванным от евклидовой геометрии, такое изложение проективной геометрии излишне абстрактно. Поэтому для большей конкретности и наглядности целесообразно исходить из модели евклидовой плоскости.

Известно, что прямая на евклидовой плоскости продолжается в обе стороны бесконечно и что между точками прямой и всеми действительными числами можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором естественной упорядоченности точек на прямой отвечает упорядоченность чисел но их величине.

Дополним теперь прямую «слева и справа» одной и той же условной точкой которую назовем бесконечно удаленной точкой.

Понятно, что возникает сомнение - а можно ли говорить о реальности несуществующих точек? Однако в современных теориях это встречается часто. Так, например, хотя среди действительных чисел нет бесконечно больших чисел, в математическом анализе применяется символ правда не в качестве числа, а для обозначения неограниченного роста. (В этом же смысле символ употребляется по отношению к тригонометрическим функциям.) После добавления к обычной прямой бесконечно удаленной точки «пополненная» прямая становится замкнутой. Давайте теперь прибавим к: каждой обычной прямой по бесконечно удаленной точке, причем условимся, что когда прямые параллельны, то добавляемые к ним точки совпадают, когда же прямые не параллельны, то их бесконечно удаленные точки различны.

Две пересекающиеся на евклидовой плоскости прямые пересекаются в обычной точке, причем бесконечно удаленные точки этих прямых не совпадают. Следовательно, в этой новой геометрии параллельных прямых не существует, каждые две прямые обязательно

пересекаются в одной точке. Семейство параллельных между собой в обычной геометрии прямых имеет одну общую бесконечно удаленную точку, разнонаправленные же прямые имеют разные бесконечно удаленные точки. В связи с этим бесконечно удаленных точек бесконечно много.

Множество этих бесконечно удаленных точек, опять-таки по определению, составляет одну так называемую бесконечно удаленную прямую

Таким образом мы получаем геометрию, в которой к евклидовой плоскости добавляется одна бесконечно удаленная прямая.

По существу, эта геометрия пока не очень отличается от евклидовой геометрии. Вместо положения о параллельности двух прямых вводится положение об их пересечении в бесконечно удаленной точке.

Основные аксиомы, принятые в проективной геометрии, утверждают, что две точки определяют одну прямую (если обе точки - бесконечно удаленные, то они определяют бесконечно удаленную прямую и что две прямые всегда пересекаются в одной точке. И хотя положения этих двух аксиом весьма важны, но до тех пор пока мы выделяем

некоторые точки в одну бесконечно удаленную прямую, мы практически не меняем сути евклидовой геометрии и не привносим в геометрию ничего нового.

Если некоторая последовательность сходится к конечному числу a , то пишут
.
Ранее мы ввели в рассмотрение бесконечно большие последовательности . Мы приняли, что они являются сходящимися и обозначили их пределы символами и . Эти символы обозначают бесконечно удаленные точки . Они не принадлежат множеству действительных чисел. Но понятие предела позволяет ввести такие точки и дает инструмент для изучения их свойств с помощью действительных чисел.

Определение
Бесконечно удаленная точка , или бесконечность без знака, - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность.
Бесконечно удаленная точка плюс бесконечность , - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность с положительными членами.
Бесконечно удаленная точка минус бесконечность , - это предел, к которому стремится бесконечно большая последовательность с отрицательными членами.

Для любого действительного числа a имеют место следующее неравенства:
;
.

Используя действительные числа, мы ввели понятие окрестности бесконечно удаленной точки .
Окрестностью точки является множество .
Наконец, окрестностью точки является множество .
Здесь M - произвольное, сколь угодно большое действительные число.

Таким образом, мы расширили множество действительных чисел, введя в него новые элементы. В связи с этим, имеет место следующее определение:

Расширенной числовой прямой или расширенным множеством действительных чисел называется множество действительных чисел , дополненное элементами и :
.

Вначале мы выпишем свойства, которыми обладают точки и . Далее рассмотрим вопрос строгого математического определения операций для этих точек и доказательства этих свойств.

Свойства бесконечно удаленных точек

Сумма и разность .
; ;
; ;

Произведение и частное .
; ; ;
;
;
; ; .

Связь с действительными числами .
Пусть a - произвольное действительное число. Тогда
; ;
; ; ; .
Пусть a > 0 . Тогда
; ; .
Пусть a < 0 . Тогда
; .

Неопределенные операции .
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Доказательства свойств бесконечно удаленных точек

Определение математических операций

Мы уже дали определения для бесконечно удаленных точек. Теперь мы должны определить для них математические операции. Поскольку мы определили эти точки посредством последовательностей, то и операции с этими точками также следует определить, используя последовательности.

Итак, суммой двух точек
c = a + b ,
принадлежащих расширенному множеству действительных чисел,
,
мы будем называть предел
,
где и - произвольные последовательности, имеющие пределы
и .

Аналогичным образом определяются операции вычитания, умножения и деления. Только, в случае деления, элементы в знаменателе дроби не должны быть равными нулю.
Тогда разность двух точек:
- это предел: .
Произведение точек:
- это предел: .
Частное:
- это предел: .
Здесь и - произвольные последовательности, чьи пределы равны a и b , соответственно. В последнем случае, .

Доказательства свойств

Для доказательства свойств бесконечно удаленных точек, нам нужно использовать свойства бесконечно больших последовательностей.

Рассмотрим свойство:
.
Для его доказательства, мы должны показать, что
,

Другими словами нам нужно доказать, что сумма двух последовательностей, сходящихся к плюс бесконечности, сходится к плюс бесконечности.

1 выполняются неравенства:
;
.
Тогда при и имеем:
.
Положим . Тогда
при ,
где .
Это и означает, что .

Аналогичным способом доказываются и другие свойства. В качестве примера приведем еще одно доказательство.

Докажем, что:
.
Для этого мы должны показать, что
,
где и - произвольные последовательности, с пределами и .

То есть нам нужно доказать, что произведение двух бесконечно больших последовательностей является бесконечно большой последовательностью.

Докажем это. Поскольку и , то имеются некоторые функции и , так что для любого положительного числа M 1 выполняются неравенства:
;
.
Тогда при и имеем:
.
Положим . Тогда
при ,
где .
Это и означает, что .

Неопределенные операции

Часть математических операций с бесконечно удаленными точками не определены. Чтобы показать их неопределенность, нужно привести пару частных случаев, когда результат операции зависит от выбора входящих в них последовательностей.

Рассмотрим такую операцию:
.
Легко показать, что если и , то предел суммы последовательностей зависит от выбора последовательностей и .

Действительно, возьмем . Пределы этих последовательностей равны . Предел суммы

равен бесконечности.

Теперь возьмем . Пределы этих последовательностей также равны . Но предел их суммы

равен нулю.

То есть при условии, что и , значение предела суммы может принимать различные значения. Поэтому операция не определена.

Аналогичным способом можно показать неопределенность остальных операции, представленных выше.