Логика широко используется не только в жизни, но и в реализации работы цифровой техники, в том числе и компьютеров. Цифровая техника содержит так называемые логические элементы, которые реализуют те или иные логические операции.
В логике используются простые и составные логические высказывания (повествовательные утверждения), которые могут быть истинными (1 ) или ложными (0 ).
Пример простых высказываний:
- "Москва - столица России" (1)
- "Дважды два - три" (0)
- "Здорово!" (не является высказыванием)
Для объединения нескольких простых высказываний в одно составное используют логические операции. Существуют три базовые логические операции: И, ИЛИ, НЕ.
Порядок операций:
- действия в скобках, операции сравнения (<, ≤, >, ≥, =, ≠)
Рассмотрим каждую из трех операций отдельно.
1. Операция НЕ меняет значение логического высказывания на противоположное. Эта операция носит также названия "инверсия", "логическое отрицание". Знак операции: ¬
Таблица истинности:
| А | НЕ А |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
2. Операция И для составного высказывания дает истину только тогда, когда истинны все входящие простых высказывания. Данную операцию можно также называть как "логическое умножение" или "конъюнкция". Знак операции: , & , /\
Таблица истинности:
| A | B | A И B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
3. Операция ИЛИ для составного высказывания дает истину тогда, когда истинно хотя бы одно любое входящее простое высказывание. "Логическое сложение", "дизъюнкция". Знак операции: + , v
| A | B | A ИЛИ B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Примеры решения задач
Пример 1.
Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:
НЕ
(число > 50) ИЛИ
(число чётное)?
1) 9 2) 56 3) 123 4) 8
Решение. Сначала выполняем сравнения в скобках, затем операция НЕ, в последнюю очередь - операция ИЛИ.
1) Подставим число 9 в выражение:
НЕ
(9 > 50) ИЛИ
(9 чётное)
НЕ
(ложь) ИЛИ
(ложь) = истина ИЛИ
ложь = истина
9 нам не подходит, так как по условию мы должны получить ложь.
2) Подставим число 56 в выражение:
НЕ
(56 > 50) ИЛИ
(56 чётное)
НЕ
(истина) ИЛИ
(истина) = ложь ИЛИ
истина = истина
56 тоже не подходит.
3) Подставим 123:
НЕ
(123 > 50) ИЛИ
(123 чётное)
НЕ
(истина) ИЛИ
(ложь) = ложь ИЛИ
ложь = ложь
Число 123 подошло.
Эту задачу можно было решить и по-другому:
НЕ
(число > 50) ИЛИ
(число чётное)
Нам надо получить ложное значение. Мы видим, что операция ИЛИ будет выполняться в последнюю очередь. Операция ИЛИ даст ложь, когда оба выражения НЕ(число) и (число чётное) будут ложны.
Так как условие (число чётное) должно быть равно ложному значению, то сразу отвергаем варианты с числами 56, 8.
Итак, можно решать прямой подстановкой, что долго и может дать ошибку при вычислении выражения; или же можно решать задачу быстро, проанализировав все простые условия.
Ответ: 3)
Пример 2
Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:
НЕ (Первая цифра чётная) И НЕ (Последняя цифра нечётная)?
1) 6843 2) 4562 3) 3561 4) 1234
Сначала выполняем сравнения в скобках, затем операции НЕ над скобками, в последнюю очередь - операция И. Все это выражение должно принимать истинное значение.
Так как операция НЕ меняет смысл высказывания на противоположный, мы может переписать это сложное выражение так:
(Первая цифра нечётная) И (Последняя цифра чётная) = истина
Как известно, логическое умножение И дает истину только тогда, когда истинны все простые высказывания. Таким образом, оба условия должны быть истинными:
(Первая цифра нечётная) = истина (Последняя цифра чётная) = истина
Как видно, подходит только число 1234
Ответ: 4)
Пример 3
Для какого из приведённых имён истинно
высказывание:
НЕ
(Первая буква гласная) И
(Количество букв > 5)?
1) Иван 2) Николай 3) Семён 4) Илларион
Перепишем выражение:
(Первая буква не гласная)
И
(Количество букв > 5) = истина
(Первая буква согласная)
И
(Количество букв > 5) = истина
«Комплексные числа» - Название “мнимые числа” ввёл французский математик и философ Р.Декарт. Мнимая единица. Решение. Первым учёным, предложившим ввести числа новой природы, был Джорж Кордано. Комплексные числа. Квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными.
«Системы счисления» - ц Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную. Десятичная система счисления. Позиция цифры в числе называется ее разрядом, а количество цифр в числе его разрядностью. Количество цифр в СС называется ее основанием. Шестнадцатеричная система счисления. В позиционной системе вес цифры зависит от ее позиции (места) в числе.
«Алгебра высказываний» - Соединение двух высказываний а и в в одно с помощью союза «и». Эквиваленция -. Конъюнкция (логическое умножение) -. Этапы развития логики. Основные операции алгебры высказываний. Простые высказывания будем называть логическими переменными, а сложные логическими функциями. Логики: Слово «логика» обозначает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления.
«Число 4» - 4.Развивать внимание, логическое мышление. 2.Освоение математической символики. 3. Формирование основных понятий: количественные, натуральные числа. Число и цифра 4. Состав числа 4. =1+3=4. 1.Знакомство с числом 4, с цифрой 4. = 3+1=4. Цели и задачи: Закрепление. = 2+2=4.
«Системы счисления» - Восьмеричная система счисления. Какие системы счисления используются для общения с компьютером? Системы счисления. Шестнадцатеричная система счисления. Славянская система счисления. Римская система счисления - для записи чисел используются буквы латинского алфавита. Единичная ("палочная”, “унарная”) система счисления.
«Урок числа от 1 до 10» - Какие карточки перевернуты? Состав числа 5. Геометрические фигуры. Состав числа 6. Раз, два, три, четыре, пять! Работа в тетрадях. Сказка. Состав числа 7. Работа в тетради. Физкультминутка. 8 Игра «Отпусти рыбку в море». Игра «Прибавляем 1 и вычитаем 1». Будем вместе повторять. А теперь мы отдохнем И опять считать начнем.