Дайте определение прямоугольной системы координат. Конспект урока "прямоугольная система координат в пространстве"

1. Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X "X и Y "Y O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y "Y вверх, ось X "X смотрела направо.

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X "X и Y "Y , называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y . Координата x равна длине отрезка OB , координата y - длине отрезка OC в выбранных единицах измерения . Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y "Y и X "X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A , координата y - ординатой точки A . Записывают так: А (x , y )

Если точка A лежит в координатном углу I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном углу III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном углу IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

2. Полярные координаты.

Полярная сетка, на которой отложено несколько углов с пометками в градусах.

Полярная система координат - двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - углом и расстоянием. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде расстояний и углов; в более распространенной, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путем применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задается лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается φ, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определенная таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

3. Деление отрезков в данном отношении.

Требуется разделить отрезок АВ, соединяющий точки A(x1;y1) и В(х2;y2) в заданном отношении λ > 0, т. е..jpg" align="left" width="84 height=84" height="84">

Решение : Введем в рассмотрение векторы https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height="15 src=">, т. е. и т. е..

Уравнение (9.1) принимает вид

Учитывая, что равные векторы имеют равные координаты, получаем:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) и

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Формулы (9.2) и (9.3) называются формулами деления отрезка в данном отношении . В частности, при λ = 1, т. е..gif" width="54" height="29 src=">. В этом случае точка М(х;у) является серединой отрезка АВ.

Замечание:

Если λ = 0, то это означает, что точки A и Μ совпадают, если λ < 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ внешним образом , т. к. в противном случае , т. е. AM + MB = 0, т. е. АВ = 0).

4. Расстояние между точками.

Требуется найти расстояние d между точками A(x1;y1) и В(х2;y2) плоскости .

Решение : Искомое расстояние d равно длине вектора , т. е.

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1, y1, z1) иM2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетворять полученному выше уравнению прямой:

.

Кроме того, для точки М1 можно записать:

.

Решая совместно эти уравнения, получим:

.

Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.

6. Определители 2-го порядка.

Значение определителя 2-го порядка легко вычисляется по определению используя формулу.

7. Определители 3-го порядка.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> схема вычисления определителя методом треугольника, т. о.:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Решение СЛУ методом Крамера.

Теорема Крамера: Система N уравнения с N неизвестными, Определитель которых отличен от нуля, всегда имеет решение, при том единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы с заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестных на столбец искомых членов.

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком - Δ. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый Xi = Δi / Δ, где Δi - это определитель составленный из коэффициентов при X1 - n, только значения коэффициентов в i - ом стольбце заменены на значения за знаком равенства в сисетеме уравнений, а Δ - это главный определитель

Система N-го порядкаhttps://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46">.gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Решение СЛУ матричным методом.

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т. к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1 , обратную матрице A : https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Решить матричным способом следующую систему уравнений:

Внимание: Нули появляются, если нет одной переменной, т. е., например, если Х3 не дан в условии, то он автоматически равен нулю. Так же и с Х1 и Х2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

Ответ:

# а) Дано:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> Ответ:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Найдем обратную матрицу.

Вычтем 1 - ую строку из всех строк, которые находятся ниже нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Вычтем 3 - ую строку из всех строк, которые находятся выше нее. Это действие не противоречит элементарным преобразованиям матрицы.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1. Квадратная матрица, получившаяся правее единичной и есть обратная к главной.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Векторы. Сложение векторов.

http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

Вектором называют величину, характеризуемую числовым значением, направлением в пространстве и складывающейся с другой, себе подобной величиной геометрически .

Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины, как https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> или DIV_ADBLOCK254">

Сложение векторов: Суммой векторов a(a1; a2) и b(b1; b2) называется вектор c(a1+b1; a2+b2). Для любых векторов a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) справедливы равенства:

Теорема : Каковы бы ни были три точки A, B и C, имеет место векторное равенство https://pandia.ru/text/78/214/images/image094_4.gif" width="126" height="49">

При сложении двух векторов часто используют так называемое «правило параллелограмма ». При этом строят параллелограмм, используя слагаемые векторы в качестве его смежных сторон. Диагональ параллелограмма, проведённая из точки, где соединяются начала векторов, и является искомой суммой (рис. 4, слева).

Легко видеть (рис. 4, справа), что это правило приводит к тому же результату, что и указанный выше способ. При сложении более двух векторов «правило параллелограмма » практически не используется из-за громоздкости построений. Сложение векторов коммутативно, то есть,
а + b = b + а .

И еще, сумма определенного числа векторов не зависит от порядка, в котором они складываются, то есть, (а + b ) + d = a + (b + d ). В этом случае говорят, что сложение векторов ассоциативно, то есть для него выполняется сочетательный закон.

12. Скалярное произведение векторов.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/

Скалярное произведение векторов - это операция над двумя векторами, результатом которой является число (не вектор).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

Иными словами, скалярное произведение векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Необходимо заметить, что угол между двумя векторами - это угол, который они образуют, если отложить их от одной точки, то есть начала векторов должны совпадать.

Непосредственно из определения следуют следующие простейшие свойства:

1. Скалярное произведение произвольного вектора а на себя же (скалярный квадрат вектора а) всегда неотрицательно, и равно квадрату длины этого вектора. Причем скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда данный вектор - нулевой.

2. Скалярное произведение любых перпендикулярных векторов a и b равно нулю.

3. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перепендикулярны или хотя бы один из них - нулевой.

4. Скалярное произведение двух векторов a и b положительно тогда и только тогда, когда между ними острый угол.

5. Скалярное произведение двух векторов a и b отрицательно тогда и только тогда, когда между ними тупой угол.

Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами.

(Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто :

Пусть есть вектор AB, А - начало вектора, В - конец, и координаты этих точек

А=(a1,a2,a3), В=(b1,b2,b3)

Тогда координаты вектора АВ:

АВ={b1-a1, b2-a2, b3-a3}.

Аналогично в двухмерном пространстве - просто отсутствуют третьи координаты)

Итак, пусть даны два вектора, заданные набором своих координат:

а) В двухмерном пространстве(на плоскости) ..gif" width="49" height="19 src=">

Тогда их скалярное произведение можно вычислить по формуле:

б) В трехмерном пространстве: ;

Аналогично двухмерному случаю, их скалярное произведение вычисляется по формуле:

DIV_ADBLOCK257">

Итак, пусть у нас есть два вектора: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

И нам нужно найти угол между ними. С помощью их координат найдем их длины, а затем просто приравняем две формулы для скалярного произведения. Таким образом мы получим косинус искомого угла.

Длина вектора а вычисляется как корень из скалярного квадрата вектора а , который мы вычислим по формуле для скалярного произведения векторов, заданных координатами:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

Значит, ,

Искомый угол найден.

13. Векторное произведение.

http://www. dpva. info/Guide/GuideMathematics/linearAlgebra/vectorVectorsMultiplication/

Векторное произведение двух векторов а и b - это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими свойствами:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, где a и b .

3) Вектор направлен таким образом, что если привести вектора https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">.gif" width="13" height="24"> до вектора будет ПРОТИВ часовой стрелки.

Для большей ясности приведем пример - на рисунке справа вектор - векторное произведение векторов а и b. Как сказано в определении, мы привели все три вектора к общему началу, и тогда, если смотреть на вектора a и b с конца вектора , кратчайший поворот от вектора а до вектора b будет против часовой стрелки.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множителя k (числа) верно следующее:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Нахождение Определителя Матрицы 3-го порядка по правилу треугольника

DIV_ADBLOCK261">

Каждому элементу квадратной Матрицы (порядок которых больше, или равен трем), можно поставить в соответствие два числа, называемые МИНОРОМ или АЛГЕБРАИЧЕСКИМ ДОПОЛНЕНИЕМ. Минором элемента Aij квадратной Матрицы А (любого порядка) называется ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ, получаемый из Матрицы А методом вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij. Знак M - обозначение Минора.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

Пусть А = некоторая Матрица III-го порядка, тогда определитель матрицы А равен:

Замечание: Определитель можно вычислить по элементам любой строки или любого столбца данной Матрицы.

# Найти определитель Матрицы по элементам первой строки и первого столбца:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ n-го порядка

Пусть А - квадратная Матрица n-го порядка. Тогда, Определитель Матрицы n-го порядка будет выглядеть так:

Разложив по элементам 1 строки найти элементы Матрицы А

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=-1

6. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (транспонировать)

2. При перестановке двух строк или столбцов, Определение изменит свой знак на противоположный.

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя

4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами всегда равен нулю.

5. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны то определитель равен нулю.

6. Если в какой-то строке или столбце определителя прибавить соответственно элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> и т. д.

Треугольный определитель - это тот определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали - нули, равен произведению элементов главной диагонали.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Если обратная Матрица А существует, то Матрицу называют ОБРАТИМОЙ. Нахождение квадратной Матрицы имеет большое значение при решении системных линейных уравнений.

17. Обратная матрица.

http://www. mathelp. *****/book1/omatrix. htm

1. Найти Определитель Матирицы А

2. Найти алгибраическое дополнение всех элементов Матрицы А (Aij) и записать новую Матрицу

3. Транспонировать новую Матрицу

4. Умножить транспонированную Матрицу на число, обратное определителю. (Например: к числу 6 обратным определителем будет число )

Обозначим ∆ =det A. Для того, чтобы квадратная Матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы Матрица была не вырожденной (отличной от нуля). Матрица, обратная матрице А, обозначается через А-1, так что В = А-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src="> - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знаку D , если произвольно, если D = 0 .

21. Кривые 2-го (уравнение окружности).

Определение 11.1. Кривыми второго порядка на плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.

Если такая плоскость пересекает все образующие одной полости конуса, то в сечении получается эллипс , при пересечении образующих обеих полостей – гипербола , а если секущая плоскость параллельна какой-либо образующей, то сечением конуса является парабола .

Замечание. Все кривые второго порядка задаются уравнениями второй степени от двух переменных.

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

невырожденной , если Могут возникать следующие варианты:

Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если

· эллипс - при условии D > 0 и ΔI < 0;

частный случай эллипса - окружность - при условии I 2 = 4D или a 11 = a 22,a 12 = 0;

мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) - при условии ΔI > 0;

· гипербола - при условии D < 0;

Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если ΔI = 0

· парабола - при условии D = 0.

Вырожденные кривые: Кривая второго порядка называется вырожденной , если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

· вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) - при условии D > 0;

· пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) - при условии D < 0;

· вырожденная парабола - при условии D = 0:

· пара вещественных параллельных прямых - при условии B < 0;

· одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) - при условии B = 0;

· пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) - при условии B > 0.

22. Эллипс и его уравнение.

Определение 11.2. Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F 1 и F 2 этой плоскости, называемых фокусами , есть величина постоянная.

Замечание. При совпадении точек F 1 и F 2 эллипс превращается в окружность.

Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.

Свойства эллипса:

1) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a >2b ), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.

Тогда https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.

|r 1 - r 2 | = 2a , откуда. Если обозначить b ² = c ² - a ², отсюда можно получить https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height="44 src="> , (11.3`)

для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.

4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.

5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.

Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.

23. Парабола.

Определение 11.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а прямая – ее директрисой .

Для вывода уравнения параболы выберем декартову систему координат так, чтобы ее началом была середина перпендикуляра FD , опущенного из фокуса на директрису, а координатные оси располагались параллельно и перпендикулярно директрисе. Пусть длина отрезка FD

D O F x равна р . Тогда из равенства r = d следует, что https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Алгебраическими преобразованиями это уравнение можно привести к виду:

y ² = 2px , (11.4) называемому каноническим уравнением параболы .

Величина р называется параметром параболы.

Свойства параболы :

1) Парабола имеет ось симметрии (ось параболы). Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Если парабола задана каноническим уравнением, то ее осью является ось Ох, а вершиной – начало координат.

2) Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху.

Замечание. Используя свойства директрис эллипса и гиперболы и определение параболы, можно доказать следующее утверждение:

Множество точек плоскости, для которых отношение е расстояния до некоторой фиксированной точки к расстоянию до некоторой прямой есть величина постоянная, представляет собой эллипс (при e <1), гиперболу (при e >1) или параболу (при е =1).

Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Определение 11.9. Линия, определяемая общим уравнением второго порядка

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> можно задать матрицу

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (в предположении, что λ .

В случае, когда одно из собственных чисел матрицы А равно 0, уравнение (11.5) в результате двух преобразований координат можно привести к виду: , (11.8) являющимся каноническим уравнением параболы.

24. Прямоугольные координаты в пространстве.

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX , OY и OZ . Оси координат пересекаются в точке O , которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно одинаковы для всех осей (что не является обязательным). OX - ось абсцисс, OY - ось ординат, OZ - ось аппликат.

Если большой палец правой руки принять за направление X , указательный за направление Y , а средний за направление Z , то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Иначе говоря, положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY , если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ . Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. рис. 2).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x , y и z . Координата x равна длине отрезка OB , координата y - длине отрезка OC , координата z - длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB , OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ , XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A , координата y - ординатой точки A , координата z - аппликатой точки A . Записывают так: .

Для определения положения точки в пространстве мы будем использовать декартовы прямоугольные координаты (рис.2).

Декартова прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY, OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения обычно (не обязательно) одинаковы для всех осей. Ось OX называется осью абсцисс (или просто абсциссой), ось OY - осью ординат (ординатой), ось OZ - осью аппликат (апп ликатой).

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно.

Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A.

Символически это записывают так:

или привязывают запись координат к конкретной точке с помощью индекса:

x A , y A , z A ,

Каждая ось рассматривается как числовая прямая, т. е. имеет положительное направление, а точкам, лежащим на отрицательном луче, приписываются отрицательные значения координаты (расстояние берется со знаком минус). То есть, если бы, например, точка B лежала не как на рисунке — на луче OX, а на его продолжении в обратную сторону от точки O (на отрицательной части оси OX), то абсцисса x точки A была бы отрицательной (минус расстоянию OB). Аналогично и для двух других осей.

Координатные оси OX, OY, OZ, изображенные на рис. 2, образуют правую систему координат. Это означает, что если смотреть на плоскость YOZ вдоль положительного направления оси OX, то движение оси OY в сторону оси OZ будет проходить по часовой стрелке. Эту ситуацию можно описать при помощи правила буравчика : если буравчик (винт с правой резьбой) вращать по направлению от оси OY к оси OZ, то он будет двигаться вдоль положительного направления оси OX.

Векторы единичной длины, направленные вдоль координатных осей, называются координатными ортами. Их обозначают обычно как (рис. 3). Встречается так же обозначение Орты составляют базис координатной системы.

В случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторными произведениями ортов:

Метод координат - это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб - считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

1. Начало координат - в точке A;
2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
3. Ось x направляем по ребру AB, y - по ребру AD, а ось z - по ребру AA 1 .

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу - отдельно для нижней плоскости куба:

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Главное - не запутаться!

Призма - это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания - верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб - это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

1. Начало координат - в точке A;
2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
3. Ось x направляем по ребру AB, z - по ребру AA 1 , а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC - равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH - прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема - это точки C и C 1 . У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма - это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание - обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат - точку O - поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y - через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Пирамида - это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай - правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S - вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y - вдоль AD, а ось z - вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH - вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH - высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH - это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC - общая). Следовательно, SH = BH. Но BH - половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.

Упорядоченная система двух или трёх пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат .

Общая декартова система координат (аффинная система координат ) может включать и не обязательно перпендикулярные оси. В честь французского математика Рене Декарта (1596-1662) названа именно такая система координат, в которой на всех осях отсчитывается общая единица длины и оси являются прямыми.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве - три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат - чисел в соответствии единице длины системы координат.

Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное число, то есть координата.

Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.

С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты точки окружности с центром в заданной точке (a ; b ) удовлетворяют уравнению (x - a )² + (y - b )² = R ² .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости . Одна из этих осей называется осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат . Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через M x и M y соответственно проекции произвольной точки М на оси Ox и Oy . Как получить проекции? Проведём через точку М Ox . Эта прямая пересекает ось Ox в точке M x . Проведём через точку М прямую, перпендикулярную оси Oy . Эта прямая пересекает ось Oy в точке M y . Это показано на рисунке ниже.

x и y точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x и OM y . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 и y = y 0 - 0 . Декартовы координаты x и y точки М абсциссой и ординатой . Тот факт, что точка М имеет координаты x и y , обозначается так: M (x , y ) .

Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта , нумерация которых показана на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.

Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой - в уроке полярная система координат .

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве .

Одну из указанных осей называют осью Ox , или осью абсцисс , другую - осью Oy , или осью ординат , третью - осью Oz , или осью аппликат . Пусть M x , M y M z - проекции произвольной точки М пространства на оси Ox , Oy и Oz соответственно.

Проведём через точку М Ox Ox в точке M x . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oy . Эта плоскость пересекает ось Oy в точке M y . Проведём через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz . Эта плоскость пересекает ось Oz в точке M z .

Декартовыми прямоугольными координатами x , y и z точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков OM x , OM y и OM z . Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как x = x 0 - 0 , y = y 0 - 0 и z = z 0 - 0 .

Декартовы координаты x , y и z точки М называются соответственно её абсциссой , ординатой и аппликатой .

Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях xOy , yOz и zOx .

Задачи о точках в декартовой системе координат

Пример 1.

A (2; -3) ;

B (3; -1) ;

C (-5; 1) .

Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy , которую ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:

A x (2; 0) ;

B x (3; 0) ;

C x (-5; 0) .

Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (-3; 2) ;

B (-5; 1) ;

C (3; -2) .

Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox , которую ось ординат пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:

A y (0; 2) ;

B y (0; 1) ;

C y (0; -2) .

Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (2; 3) ;

B (-3; 2) ;

C (-1; -1) .

Ox .

Ox Ox Ox , будет иметь такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox :

A" (2; -3) ;

B" (-3; -2) ;

C" (-1; 1) .

Решить задачи на декартову систему координат самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с квадрантами - в конце параграфа "Прямоугольная декартова система координат на плоскости") может быть расположена точка M (x ; y ) , если

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (-2; 5) ;

B (3; -5) ;

C (a ; b ) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .

Продолжаем решать задачи вместе

Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (-1; 2) ;

B (3; -1) ;

C (-2; -2) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy .

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy , будет иметь такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки, и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy :

A" (1; 2) ;

B" (-3; -1) ;

C" (2; -2) .

Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A (3; 3) ;

B (2; -4) ;

C (-2; 1) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:

A" (-3; -3) ;

B" (-2; 4) ;

C (2; -1) .

Пример 8.

A (4; 3; 5) ;

B (-3; 2; 1) ;

C (2; -3; 0) .

Найти координаты проекций этих точек:

1) на плоскость Oxy ;

2) на плоскость Oxz ;

3) на плоскость Oyz ;

4) на ось абсцисс;

5) на ось ординат;

6) на ось апликат.

1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy :

A xy (4; 3; 0) ;

B xy (-3; 2; 0) ;

C xy (2; -3; 0) .

2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz :

A xz (4; 0; 5) ;

B xz (-3; 0; 1) ;

C xz (2; 0; 0) .

3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена на самой этой плоскости, а следовательно имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz :

A yz (0; 3; 5) ;

B yz (0; 2; 1) ;

C yz (0; -3; 0) .

4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox , а следовательно имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:

A x (4; 0; 0) ;

B x (-3; 0; 0) ;

C x (2; 0; 0) .

5) Проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy , а следовательно имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:

A y (0; 3; 0) ;

B y (0; 2; 0) ;

C y (0; -3; 0) .

6) Проекция точки на ось апликат расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz , а следовательно имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:

A z (0; 0; 5) ;

B z (0; 0; 1) ;

C z (0; 0; 0) .

Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки

A (2; 3; 1) ;

B (5; -3; 2) ;

C (-3; 2; -1) .

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:

1) плоскости Oxy ;

2) плоскости Oxz ;

3) плоскости Oyz ;

4) оси абсцисс;

5) оси ординат;

6) оси апликат;

7) начала координат.

1) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxy Oxy , будет иметь абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxy :

A" (2; 3; -1) ;

B" (5; -3; -2) ;

C" (-3; 2; 1) .

2) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oxz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oxz , будет иметь абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oxz :

A" (2; -3; 1) ;

B" (5; 3; 2) ;

C" (-3; -2; -1) .

3) "Продвигаем" точку по другую сторону оси Oyz на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oyz , будет иметь ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно плоскости Oyz :

A" (-2; 3; 1) ;

B" (-5; -3; 2) ;

C" (3; 2; -1) .

По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты данной точки, но противоположными по знаку.

4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси абсцисс:

A" (2; -3; -1) ;

B" (5; 3; -2) ;

C" (-3; -2; 1) .

5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси ординат:

A" (-2; 3; -1) ;

B" (-5; -3; -2) ;

C" (3; 2; 1) .

6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно оси апликат:

A" (-2; -3; 1) ;

B" (-5; 3; 2) ;

C" (3; -2; -1) .

7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно начала координат.

Если на плоскости или в трехмерном пространстве ввести систему координат, то мы получим возможность описывать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств, то есть, мы сможем использовать методы алгебры. Поэтому понятие системы координат очень важно.

В этой статье мы покажем как задается прямоугольная декартова система координат на плоскости и в трехмерном пространстве и выясним как определяются координаты точек. Для наглядности приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости.

Введем прямоугольную систему координат на плоскости.

Для этого проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, выберем на каждой из них положительное направление , указав его стрелочкой, и выберем на каждой из них масштаб (единицу измерения длины). Обозначим точку пересечения этих прямых буквой О и будем считать ее началом отсчета . Так мы получили прямоугольную систему координат на плоскости.

Каждую из прямых с выбранным началом отсчета О , направлением и масштабом называют координатной прямой или координатной осью .

Прямоугольную систему координат на плоскости обычно обозначают Oxy , где Ox и Oy – ее координатные оси. Ось Ox называют осью абсцисс , а ось Oy – осью ординат .

Сейчас условимся с изображением прямоугольной системы координат на плоскости.

Обычно единица измерения длины на осях Ox и Oy выбирается одинаковая и откладывается от начала координат на каждой координатной оси в положительном направлении (отмечается штришком на координатных осях и рядом записывается единица), ось абсцисс направляется вправо, а ось ординат – вверх. Все остальные варианты направления координатных осей сводятся к озвученному (ось Ox - вправо, ось Oy - вверх) при помощи поворота системы координат на некоторый угол относительно начала координат и взгляда на нее с другой стороны плоскости (при необходимости).

Прямоугольную систему координат часто называют декартовой, так как ее на плоскости впервые ввел Рене Декарт. Еще чаще прямоугольную систему координат называют прямоугольной декартовой системой координат, собирая все воедино.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве.

Аналогично задается прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном евклидовом пространстве, только берется не две, а три взаимно перпендикулярных прямых. Другими словами, к координатным осям Оx и Oy добавляется координатная ось Oz , которую называют осью аппликат .

В зависимости от направления координатных осей различают правую и левую прямоугольные системы координат в трехмерном пространстве.

Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит против хода часовой стрелки, то система координат называется правой .

Если смотреть с положительного направления оси Oz и кратчайший поворот от положительного направления оси Ox к положительному направлению оси Oy происходит по ходу часовой стрелки, то система координат называется левой .

Координаты точки в декартовой системе координат на плоскости.

Сначала рассмотрим координатную прямую Ox и возьмем некоторую точку M на ней.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка M на этой координатной прямой. К примеру, точке, расположенной на координатной прямой на расстоянии от начала отсчета в положительном направлении, соответствует число , а числу -3 соответствует точка, расположенная на расстоянии 3 от начала отсчета в отрицательном направлении. Числу 0 соответствует начало отсчета.

С другой стороны, каждой точке M на координатной прямой Ox соответствует действительное число . Это действительное число есть ноль, если точка M совпадает с началом отсчета (с точкой O ). Это действительное число положительно и равно длине отрезка OM в данном масштабе, если точка M удалена от начала отсчета в положительном направлении. Это действительное число отрицательно и равно длине отрезка OM со знаком минус, если точка M удалена от начала отсчета в отрицательном направлении.

Число называется координатой точки M на координатной прямой.

Теперь рассмотрим плоскость с введенной прямоугольной декартовой системой координат. Отметим на этой плоскости произвольную точку М .

Пусть - проекция точки M на прямую Ox , а - проекции точки M на координатную прямую Oy (при необходимости смотрите статью ). То есть, если через точку M провести прямые, перпендикулярные координатным осям Ox и Oy , то точками пересечения этих прямых с прямыми Ox и Oy являются соответственно точки и .

Пусть точке на координатной оси Ox соответствует число , а точке на оси Oy - число .

Каждой точке М плоскости в заданной прямоугольной декартовой системе координат соответствует единственная упорядоченная пара действительных чисел , называемых координатами точки M на плоскости. Координату называют абсциссой точки М , а - ординатой точки М .

Верно и обратное утверждение: каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует точка М плоскости в заданной системе координат.

Координаты точки в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Покажем как определяются координаты точки М в прямоугольной системе координат, заданной в трехмерном пространстве.

Пусть и - проекции точки M на координатные оси Ox , Oy и Oz соответственно. Пусть этим точкам на координатных осях Ox , Oy и Oz соответствуют действительные числа и .